Question

8．已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=$\frac{20}{3}$．过A作AH⊥BD于H．
（1）将△AHB沿AB翻折，得△AEB．求证：∠EAB=∠ADB；
（2）如图②，将△ABE绕点B顺时针旋转，记旋转中的△ABE为△A′BE′，在旋转过程中，延长A′E′与对角线BD交于点Q，与边AD交于点P，问是否存在这样的Q、P两点，使△DQP为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质和等角的余角相等即可证明；
（2）分类讨论，分三种情况①PD=DQ，②PQ=PD，③QP=QD．

解答 （1）证明：由翻折可知：∠EAB=∠BAH．
∵∠BAH+∠DAH=∠DAH+∠ADB=90°．
∴∠BAH=∠ADB，
∴∠EAB=∠ADB．   
（2）如图①所示，当PD=DQ时，
∵∠1=∠2，
∴∠A′BQ=∠A′QB，
∴A′Q=A′B=5，
∴E′Q=1．
在Rt△E′BQ中，BQ=$\sqrt{E′{B}^{2}+E′{Q}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
∴DQ=$\frac{25}{3}$-$\sqrt{10}$．
如图②所示，当PQ=PD，
由∠1=∠2可得∠1=∠4，
∴BQ=A′B=5，
∴DQ=BD-BQ=$\frac{25}{3}$-5=$\frac{10}{3}$．
当QP=QD时，点P不在AD上，不合题意．
综上可知：当DQ=$\frac{25}{3}$-$\sqrt{10}$或$\frac{10}{3}$时，△DPQ是等腰三角形．

点评 本题主要考查了翻折的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及分类讨论的数学方法的综合运用，第（2）小题根据题意画出图形，分类讨论各种情况是解决问题的关键．