Question

5．求函数y=$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\sqrt{（x-4）^{2}+4}$的最小值．

Answer 1

分析 问题等价于求点（x，0）到两点（0，1），（4，2）的距离之和的最小值． 作点（0，1）关于x轴的对称点（0，-1），则就是求点（x，0）到两点（0，-1），（4，2）的距离之和的最小值，可得结论．

解答 解：因为y=$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\sqrt{（x-4）^{2}+4}$=$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-1）^{2}}$+$\sqrt{（x-4）^{2}+（0-2）^{2}}$，
所以可以看成是点（x，0）到两点（0，1），（4，2）的距离之和． 
问题等价于求点（x，0）到两点（0，1），（4，2）的距离之和的最小值． 
作点（0，1）关于x轴的对称点（0，-1），则就是求点（x，0）到两点（0，-1），（4，2）的距离之和的最小值，
根据三角形两边之和大于第三边知：最小值就是点 （0，-1）和（4，2）的距离，为$\sqrt{{4}^{2}+（2+1）^{2}}$=5．

点评 本题考查函数的最值及其几何意义，转化为求点（x，0）到两点（0，1），（4，2）的距离之和的最小值是关键．