Question

8．如图1，ABCD为正方形，将正方形的边CB绕点C顺时针旋转到CE，记∠BCE=α，连接BE，DE，过点C作CF⊥DE于F，交直线BE于H．
（1）当α=60°时，如图1，则∠BHC=45°；
（2）当45°＜α＜90°，如图2，线段BH、EH、CH之间存在一种特定的数量关系，请你通过探究，写出这个关系式：BH+EH=$\sqrt{2}$CH（不需证明）；
（3）当90°＜α＜180°，其它条件不变（如图3），（2）中的关系式是否还成立？若成立，说明理由；若不成立，写出你认为成立的结论，并简要证明．

Answer 1

分析 （1）作CG⊥BH于G，由正方形的性质和旋转的性质得出∠BCE=α=60°，CB=CD=CE，由等腰三角形的性质得出∠BCG=∠ECG=$\frac{1}{2}$∠BCE=30°，∠ECF=∠DCF=$\frac{1}{2}$∠DCE，求出∠GCH=$\frac{1}{2}$（∠BCE+∠DCE）=45°即可；
（2）作CG⊥BH于G，同（1）得：∠BHC=45°，△CGH是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出CH=$\sqrt{2}$GH，由等腰三角形的性质得出BG=EG=$\frac{1}{2}$BE，即可得出结论；
（3）作CG⊥BH于G，同（2）得：∠BHC=45°，△CGH是等腰直角三角形，CH=$\sqrt{2}$GH，BG=EG=$\frac{1}{2}$BE，即可得出结论．

解答 解：（1）作CG⊥BH于G，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠BCD=90°，
由旋转的性质得：CE=CB，∠BCE=α=60°，
∴CD=CE，∠BCG=∠ECG=$\frac{1}{2}$∠BCE=30°，
∵CF⊥DE，
∴∠ECF=∠DCF=$\frac{1}{2}$∠DCE，
∴∠GCH=$\frac{1}{2}$（∠BCE+∠DCE）=$\frac{1}{2}$×90°=45°；
故答案为：45°；

（2）BH+EH=$\sqrt{2}$CH；理由如下：
作CG⊥BH于G，如图2所示：
同（1）得：∠BHC=45°，
∴△CGH是等腰直角三角形，
∴CH=$\sqrt{2}$GH，
∵CB=CE，CG⊥BE，
∴BG=EG=$\frac{1}{2}$BE，
∴BH+EH=BG+EG+EH+EH=2GH=$\sqrt{2}$CH；
故答案为：BH+EH=$\sqrt{2}$CH；

（3）当90°＜α＜180°，其它条件不变，（2）中的关系式不成立，BH-EH=$\sqrt{2}$CH；理由如下：
作CG⊥BH于G，如图3所示：
同（2）得：∠BHC=45°，△CGH是等腰直角三角形，CH=$\sqrt{2}$GH，BG=EG=$\frac{1}{2}$BE，
∴BH-EH=BG+GH-EH=BG+EG-EH-EH=2GH=$\sqrt{2}$CH．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．