在正方形ABCD中.对角线AC.BD交于点O.点P在线段BC上.E在BO上.且∠BPE=$\frac{∠BCA}{2}$.过点B作PE交PE的延长线于F.交AC于点G．(1)当点P与点C重合时.填空△BOG≌△POE.$\frac{BF}{PE}$=$\frac{1}{2}$,(2)当点P不与点C重合时(图2).猜想:$\frac{BF}{PE}$的值为$\frac{1}{2}$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

19．在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点P在线段BC上（不与点B重合），E在BO上，且∠BPE=$\frac{∠BCA}{2}$，过点B作PE交PE的延长线于F，交AC于点G．

（1）当点P与点C重合时（如图1），填空△BOG≌△POE，$\frac{BF}{PE}$=$\frac{1}{2}$；
（2）当点P不与点C重合时（图2），猜想：$\frac{BF}{PE}$的值为$\frac{1}{2}$．并证明你的结论；
（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，则直接写出的值为．（用含α的式子表示）

分析（1）由正方形的性质可由AAS证得△BOG≌△POE．
（2）过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，通过ASA证明△BMN≌△PEN得到BM=PE，通过ASA证明△BPF≌△MPF得到BF=MF，即可得出$\frac{BF}{PE}$=$\frac{1}{2}$ 的结论．
（3）过P作PM∥AC交BG于点M，交BO于点N，同（2）证得BF=BM，∠MBN=∠EPN，从而可证得△BMN∽△PEN，由 $\frac{BM}{PE}=\frac{BN}{PN}$和Rt△BNP中$\frac{BN}{PN}$=tanα 即可．

解答解：（1）∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，
∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°．
∵PF⊥BG，∠PFB=90°，
∴∠GBO=90°-∠BGO，∠EPO=90°-∠BGO．
∴∠GBO=∠EPO．
∴△BOG≌△POE（AAS）．
∴PE=BG，
∵∠BPE=$\frac{∠BCA}{2}$，
∴∠BPE=∠GPF，
∵PF⊥BG，
∴BF=$\frac{1}{2}$BG，
∴$\frac{BF}{PE}$=$\frac{1}{2}$，
故答案为△POE，$\frac{1}{2}$；
（2）．证明如下：
如图2，

过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，
∴∠PNE=∠BOC=90°，∠BPN=∠OCB．
∵∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠NBP=∠NPB．
∴NB=NP．
∵∠MBN=90°-∠BMN，∠NPE=90°-∠BMN，
∴∠MBN=∠NPE．
∴△BMN≌△PEN（ASA）．
∴BM=PE．
∵∠BPE=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠BPN=∠ACB，
∴∠BPF=∠MPF．
∵PF⊥BM，
∴∠BFP=∠MFP=90°．
∵PF=PF，
∴△BPF≌△MPF（ASA）．
∴BF=MF，
即BF=BM．
∴BF=$\frac{1}{2}$PE，
即：$\frac{BF}{PE}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为$\frac{1}{2}$；
（3）如图2，过P作PM∥AC交BG于点M，交BO于点N，

∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=90°．
由（2）同理可得，BF=BM，∠MBN=∠EPN．
∵∠BNM=∠PNE=90°，
∴△BMN∽△PEN．
∴$\frac{BM}{PE}=\frac{BN}{PN}$．
在Rt△BNP中，tanα=$\frac{BN}{PN}$，
∴$\frac{BM}{PE}$=tanα，
即：$\frac{2BF}{PE}$=tanα．
∴$\frac{BF}{PE}$=$\frac{1}{2}$tanα．

点评此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数，解本题的关键是判断三角形相似．

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