Question

如图，已知抛物线C₁：y=a（x+2）²-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的横坐标是1；
（1）求a的值；
（2）如图，抛物线C₂与抛物线C₁关于x轴对称，将抛物线C₂向右平移，平移后的抛物线记为C₃，抛物线C₃的顶点为M，当点P、M关于点O成中心对称时，求抛物线C₃的解析式．

Answer 1

分析：（1）将B点坐标代入抛物线C₁的解析式中，即可求得待定系数a的值．
（2）在抛物线平移过程中，抛物线的开口大小没有发现变化，变化的只是抛物线的位置和开口方向，所以C₃的二次项系数与C₁的互为相反数，而C₃的顶点M与C₁的顶点P关于原点对称，P点坐标易求得，即可得到M点坐标，从而求出抛物线C3的解析式．

解答：解：（1）∵点B是抛物线与x轴的交点，横坐标是1，
∴点B的坐标为（1，0），
∴当x=1时，0=a（1+2）²-5，
∴a=

5

9

．

（2）设抛物线C₃解析式为y=a′（x-h）²+k，
∵抛物线C₂与C₁关于x轴对称，且C₃为C₂向右平移得到，
∴a′=-

5

9

，
∵点P、M关于点O对称，且点P的坐标为（-2，-5），
∴点M的坐标为（2，5），
∴抛物线C₃的解析式为y=-

5

9

（x-2）²+5=-

5

9

x²+

20

9

x+

25

9

．

点评：此题主要考查的是二次函数解析式的确定、二次函数图象的几何变化以及系数与函数图象的关系，需要熟练掌握．