Question

在△ABC中，AD是△ABC的角平分线．

（1）如图1，过C作CE∥AD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连结AF，求证：AF⊥AD；
（2）如图2，M为BC的中点，过M作MN∥AD交AC于点N，若AB=4， AC=7，
求NC的长．

Answer 1

（1）

∵AD为△ABC的角平分线，∴，∵CE∥AD，∴，，∴，∴AC=AE，∵F为EC的中点，∴AF⊥BC，∴，∴AF⊥AD。
（2）

CN＝5.5

试题分析：（1）由与CE∥AD，可以通过两直线平行性质推出内错角和同位角相等，等量代换得出，又等腰三角形底边的中线与底边上的高是同一条线，所以得出AF⊥BC，由此AF⊥AD。
（2）延长BA与MN延长线于点E，过B作BF∥AC交NM延长线于点F，∴，，∵M为BC的中点，∴BM＝CM，在△BFM和△CNM中，，，，∴△BFM≌△CNM，∴BF＝CN，∵MN∥AD，∴，，∴，∴，，设，则，，，∴4＋7－x＝x，解得 x＝5.5，∴CN＝5.5
点评：本题考查的是学生对两平行线与过这两条线的直线相交的性质；等腰三角形的三线合一很重要，通过求出其中任意一个数据，即可知道其他两个的数据；第二问关键在于做辅助线，辅助线在几何题中也是十分常用的一种方法。