Question

【题目】如图，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点，且为双曲线上的一点，为坐标平面上一动点，垂直于轴，垂直于轴，垂足分别是、.

（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式.

（2）当点在直线上运动时，直线上是否存在这样的点，使得与的面积相等？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为；

（2）在直线上存在这样的点或，使得与面积相等.

【解析】

（1）用待定系数法进行求解，即可得到正比例函数和反比例函数的关系式；

（2）当点Q在直线MO上运动时，假设在直线MO上存在这样的点Q（x，x），使得△OBQ与△OAP面积相等，则B（0，x）．根据三角形的面积公式列出关于x的方程，解方程即可．

（1）设反比例函数的解析式为，正比例函数的解析式为.

∵正比例函数和反比例函数的图像都经过点，∴，. ∴，.

∴正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为.

（2）当点在直线上运动时，假设在直线上存在这一的点，使得与面积相等，则.

∵，∴，解得.

当时，. 当时，.

故在直线上存在这样的点或，使得与面积相等.