Question

【题目】如图，已知A（2，4），以A为顶点的抛物线经过原点交x轴于B．

（1）求抛物线解析式；

（2）取OA上一点D，以OD为直径作⊙C交x轴于E，作EF⊥AB于F，求证EF是⊙C的切线；

（3）设⊙C半径为r，EF＝m，求m与r的函数关系式及自变量r的取值范围；

（4）当⊙C与AB相切时，求⊙C半径r的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+4x．（2）详见解析；（3）；（4）

【解析】

（1）已知了抛物线顶点的坐标，可用顶点式的二次函数通式来设二次函数的解析式，将原点的坐标代入解析式中即可求出二次函数的解析式；

（2）要证EF是圆C的切线，那么可连接CE，证CE⊥EF即可，由于EF⊥AB，那么只需证明CE∥AB即可得出EF是切线的结论，那么OC=CE，根据抛物线的对称性可得OA=AB，由这两组相等的线段即可得出∠OEC=∠ABO，由此可得证；

（3）由（2）可知∠ABO=∠AOB，那么可通过三角函数来解，根据A，O，B的坐标不难得出∠AOB，∠ABO的正弦值，那么可过C作OB的垂线，垂足为M，可在直角三角形OCM中，用∠AOB的正切值以及r的长表示出OM，也就求出了OE，进而可表示出BE的长，然后在直角三角形BFE中，根据∠ABO的正弦值用BE表示出BF，由此可得出关于m，r的函数关系式；

（4）如果⊙C与AB相切，设切点为G，那么如果连接CG，四边形CEFG就是正方形，那么r=m=EF，那么根据（3）中m，r的函数关系式，将m=r代入（3）的函数关系式中即可求出r的值．

（1）设y＝a（x﹣2）2+4，由于抛物线过原点（0，0），则有0＝4a+4，

即a＝﹣1．

因此抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x；

（2）连CE，

则∠COE＝∠CEO，

根据A是抛物线的顶点，可知OA＝AB，即∠AOB＝∠OBA，

∴∠OEC＝∠ABO，

∴CE∥AB，又EF⊥AB，

∴CE⊥EF，

∴EF是⊙C的切线；

（3）分别过C、A作OB的垂线，垂足分别为M、N，

直角三角形OAN中，cos∠AOB＝，

因此：OM＝，OE＝2OM＝，EB＝4﹣，

∴（0＜r＜）；

（4）设⊙C切AB于点G，

连接CG，则CG⊥AB，

∴∠CGF＝∠EFG＝∠CEF＝90°，

∴四边形CEFG为矩形，

又CE＝CG，

∴四边形CEFG为正方形，

∴EF＝r，

∴m＝r①，

由（3）得，

解得r＝．