Question

25、已知：如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角板，∠BAC=90°，∠EDF=90°．
（1）请你利用这两块三角板画出BC的中点（用示意图表示）；
（2）当我们把△DEF的顶点E与A点重合时，使ED、EF与BC相交，设交点为P、G（点P在点G的左侧），你能否证明BP+CG与PG的关系，请你完成自己的证明．

Answer 1

分析：（1）运用等腰三角形三线合一定理过点A作BC的垂线即可得．
（2）以点A为顶点在∠PAG的内部做∠MAP=∠BAP，在AM上截取AM=AB，连接PM与MG．可证△BAP≌△MAP．
则推证△CAG≌△MAG因此PM+MG＞PG．则BP+CG＞PG．

解答：解（1）只要能利用其中一块三角板画出BC的中点，则给（1分）．
（2）当点E与点A重合，DE与EF和BC相交与P、G时，BP+CG＞PG．
证明如下：以点A为顶点在∠PAG的内部做∠MAP=∠BAP，在AM上截取AM=AB，连接PM与MG．（2分）
∴△BAP≌△MAP．（3分）
∵∠BAP+∠CAG=45°∠MAP=∠BAP，
∴∠MAG=∠CAG
又MA=CA，AG=AG
∴△CAG≌△MAG（4分）
因此PM+MG＞PG．（5分）
则BP+CG＞PG．（6分）

点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，在本题中需巧妙作出辅助线，出现全等三角形，此题才可解．