Question

9．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例y=$\frac{m}{x}$的图象交于A（1，4），B（-4，n）两点．
（1）求反比例函数及一次函数的表达式；
（2）点P是x轴上的一动点，使|PA-PB|的值最大，求点P的坐标及△PAB的面积．

Answer 1

分析 （1）把A（1，4）代入y=$\frac{m}{x}$得，4=$\frac{m}{1}$，得到m=4，于是得到反比例函数的解析式为y=$\frac{4}{x}$，把B（-4，n）代入y=$\frac{4}{x}$得，得到B（-4，-1），解方程组得到一次函数的表达式是y=x+3；
（2）如图作B关于x轴的对称点B′，则B′（-4，1），连接AB′并延长交x轴于P，则此时|PA-PB|的值最大，求得直线AB′的解析式为：y=$\frac{3}{5}$x+$\frac{17}{5}$，于是得到P（-$\frac{17}{3}$，0）；根据三角形的面积的和差即可得到结论．

解答 解：（1）把A（1，4）代入y=$\frac{m}{x}$得，4=$\frac{m}{1}$，
∴m=4，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{4}{x}$，
把B（-4，n）代入y=$\frac{4}{x}$得，n=$\frac{4}{-4}$=-1，
∴B（-4，-1），
把A（1，4），B（-4，-1）代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{4=k+b}\\{-1=-4k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴一次函数的表达式是y=x+3；
（2）如图作B关于x轴的对称点B′，
则B′（-4，1），
连接AB′并延长交x轴于P，则此时|PA-PB|的值最大，
设直线AB′的解析式为：y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=m+n}\\{1=-4m+n}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{5}}\\{n=\frac{17}{5}}\end{array}\right.$，
∴直线AB′的解析式为：y=$\frac{3}{5}$x+$\frac{17}{5}$，
当y=0时，x=-$\frac{17}{3}$，
∴P（-$\frac{17}{3}$，0）；
∵直线AB与x轴的交点坐标为（-3，0），
∴△PAB的面积=S_△APC+S_△BPC=$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{3}$×（1+4）=$\frac{20}{3}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，轴对称-最短距离问题，三角形面积的计算，找出P点的位置是解题的关键．