如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，2），抛物线的对称轴交x轴于点D．分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据勾股定理，可得BC的长，根据正弦函数的定义，可得答案；
（3）根据等腰三角形的定义，可得P点坐标；
（4）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．
解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c过点A（-1，0），C（0，2），
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}-b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$．
∴解析式为y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+2，
（2）当y=0时，-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+2=0解得x=-1（舍），x=4，
点B的坐标为（4，0），C（0，2），
BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∴sin∠ABC=sin∠OBC=$\frac{OC}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（3）存在．
∵对称轴是x=$\frac{3}{2}$，
∴点D的坐标为（$\frac{3}{2}$，0），
∴CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=$\frac{5}{2}$．
PD=CD=$\frac{5}{2}$，得P（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$），
PC=CD=$\frac{5}{2}$，即P点与D点关于底边的高对称，得
D点的纵坐标为4，即P（$\frac{3}{2}$，4），
综上所述：点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$），（$\frac{3}{2}$，4）；
（4）设直线BC的解析式为y=mx+n
∵B、C两点坐标分别为（4，0）、（0，2），
$\left\{\begin{array}{l}{4m+n=0}\\{n=2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2．
设E点坐标为（x，-$\frac{1}{2}$x+2），则F点坐标为（x，--$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+2），
EF=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+2-（-$\frac{1}{2}$x+2）
=-$\frac{1}{2}$x2+2x
=-$\frac{1}{2}$（x-2）2+2，
当x=2时，EF最长，
∴当点E坐标为（2，1）时，线段EF最长．
点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是正弦函数的定义；解（3）的关键是利用等腰三角形的定义，要分类讨论，以防遗漏；解（3）的关键是利用平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出二次函数．
快乐小博士巩固与提高系列答案科目：初中数学 来源： 题型：选择题
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已知：如图，O为⊙O的圆心，点D在⊙O上，若∠AOC=110°，则∠ADC的度数为（ ）