Question

【题目】已知：如图，∠ABC＝135°，AB＝a，BC＝b，点P是边AC上任意一点，连结BP，将△CPB沿PB翻折，得△C'PB．

（1）若a＝，b＝6，∠C'PC＝90°，求CP的长；

（2）连结AC'，当以A、B、P、C'为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．

Answer 1

【答案】（1） （2）或

【解析】

（1）本题以三角形为背景，考查“翻折图形”性质以及相似三角形的判定，根据特殊角度135°，可利用辅助线构造45°，结合垂直构造等腰直角三角形，进而推出边等进行计算．

（2）本题考查平行四边形性质以及翻折图形性质、需根据动点位置不同采取分类讨论方式，利用四边形性质求解．

（1）解：由翻折，∠CPB＝∠C'PB

∵∠C'PC＝90°

∴∠CPB＝135°

又∵∠PCB=∠BCA,∠ABC=135°

∴△CPB∽△CBA

∴

过点C作CH⊥AB交AB延长线于点H,如下图

∴∠CBH＝45°

∴CH＝BH＝

∴AH＝

在Rt△CAH中，CA＝＝

∴

（2）①如图1，

∵四边形ABPC'是平行四边形以及翻折条件

∴∠C'BA=∠BCP=∠BC'P

∵∠OAB=∠BAC

∴△OAB∽△BAC，OB＝

∴

过点C作CH⊥AB交AB延长线于点H

∴CH＝BH＝

∴CA＝＝

∴

∴或（舍去）

②如图2，

∵四边形APBC'是平行四边形

∴OA＝OB

又∵翻折后得平行四边形PCBC'

∴AP＝BC=PC

结合上一问所求AC值

∴

∴或（舍去）

∴综上，或