Question

19．如图，△ABC中，∠B=30°，∠BAC=105°，AB=24，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 过A作AD⊥BC于D，则∠ADC=∠ADB=90°，求出AD=$\frac{1}{2}$AB=12，BD=AB×cos30°=12$\sqrt{3}$，∠BAD=60°，求出∠CAD=45°，求出CD=AD=12，求出BC，根据三角形的面积公式求出即可．

解答 解：
过A作AD⊥BC于D，则∠ADC=∠ADB=90°，
∵∠B=30°，AB=24，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=12，BD=AB×cos30°=12$\sqrt{3}$，∠BAD=60°，
∵∠BAC=105°，
∴∠CAD=45°，
∴∠C=45°=∠CAD，
∴CD=AD=12，
∴BC=BD+CD=12$\sqrt{3}$+12），
∴△ABC的面积是$\frac{1}{2}$BC×AD=$\frac{1}{2}$×（12$\sqrt{3}$+12）×12=72$\sqrt{3}$+72，
即△ABC的面积是72$\sqrt{3}$+72．

点评 本题考查了解再见三角形，等腰三角形的性质，三角形的面积，含30度角的直角三角形的性质的应用，解此题的关键是能构造直角三角形，并进一步求出BC和高AD的长．