Question

如图，直角坐标系中，有一半径为

2

的动圆⊙M，其圆心M从点（3，6）出发以每秒0.5个单位长度的速度沿y轴方向向下运动，当⊙M与直线y=x相切时，则⊙M运动的时间为______秒．

Answer 1

若圆M在上方与直线y=x相切，此时切点为B，如图1所示：
连接MB，则有MB⊥OB，过M作MA⊥x轴，与OB交于点C，
∵圆M的半径为

2

，即MB=

2

，∠MCB=∠OCA=∠COA=45°，
在Rt△MCB中，由MB=BC=

2

，
利用勾股定理得：MC=2，又M（3，6），
∴OA=AC=3，
则MA=MC+CA=2+3=5，
∴M运动了1个单位，又M的运动速度为每秒0.5个单位长度，
则此时用的时间为2秒；
若M在下方与直线y=x相切，此时切点为D，如图2所示：
连接MD，过M作x轴的垂线，交y=x于E，交x轴于F，
∵M（3，6），又∠EOF=∠DEF=45°，
∴OF=EF=3，DE=DM=

2

，
在Rt△DEM中，根据勾股定理得：EM=2，
此时MF=EF-EM=3-2=1，即M运动的路程为5个单位长度，
则此时用的时间是10秒，
综上，圆M的运动时间是2或10秒．
故答案为：2或10秒