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【题目】若矩形的一个短边与长边的比值为,(黄金分割数),我们把这样的矩形叫做黄金矩形

(1)操作:请你在如图所示的黄金矩形ABCD(AB>AD)中,以短边AD为一边作正方形AEFD.

(2)探究:在(1)中的四边形EBCF是不是黄金矩形?若是,请予以证明;若不是,请说明理由.

(3)归纳:通过上述操作及探究,请概括出具体有一般性的结论(不需证明)

【答案】(1)见解析;(2)矩形EBCF不是黄金矩形,理由见解析;(3)若以黄金矩形的短边为边在矩形内作(截割)正方形,则剩余矩形必为黄金矩形.

【解析】

(1)如图,分两种情况:正方形中,AD的对边在矩形的内部或外部;

(2)矩形EBCF不是黄金矩形, 设AB=a,AD=b(a>b),则BE=BA+AE=a+b,BE′=BA-E′A=a-b,由已知得=,所以==÷(1+)=÷(1+)=,对应边不成比例,故矩形EBCF不是黄金矩形;矩形E′BCF′是黄金矩形,

理由:==(1-)÷=(1-)÷=,即对应边成比例,故两个矩形相似.

(3)由(1)、(2)可发现结论:若以黄金矩形的短边为边在矩形内作(截割)正方形,则剩余矩形必为黄金矩形.

解:(1)以AD为边可作出两个正方形AEFD与AE′F′D′(AB>AD),如图所示

(2)矩形EBCF不是黄金矩形,理由如下:

设AB=a,AD=b(a>b),则BE=BA+AE=a+b,BE′=BA-E′A=a-b,

由ABCD为黄金矩形,得=

==÷(1+)=÷(1+)=

∴矩形EBCF不是黄金矩形;

矩形E′BCF′是黄金矩形.

证明:如图,∵==(1-)÷=(1-)÷=

∴E′BCF′是黄金矩形

(3)由(1)、(2)可发现结论:若以黄金矩形的短边为边在矩形内作(截割)正方形,则剩余矩形必为黄金矩形.

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