Question

某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸筑有拦水堤坝，其半圆形桥洞的横截面如图所示.已知上、下桥的坡面线ME、NF与半圆相切，上、下桥斜面的坡度i＝1：3.7，桥下水深OP＝5米，水面宽度CD＝24米.设半圆的圆心为O，直径AB在直角顶点M、N的连线上，求从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长.（参考数据：，，）

Answer 1

 解：连结OD、OE、OF，由垂径定理知：PD＝ 1 2 CD＝12（m）

在Rt△OPD中，（m），

∴OE＝OD＝13m

∵tan∠EMO=i= 1： 3.7 ， ≈ 1：3.7
∴∠EMO＝15°

由切线性质知∠OEM＝90°

∴∠EOM=75°
同理得∠NOF＝75°

∴∠EOF＝180°-75°×2＝30°
在Rt△OEM中，tan15°＝

∴EM＝3.7×13＝48.1（m）

又EF的弧长＝30π×13÷180 ＝6.5（m）

∴48.1×2+6.5＝102.7（m）

即从M点上坡、过桥、再下坡到N点的最短路径长为102.7米.