Question

已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=,AE⊥BD，垂足是E.点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF.
（1）求AE和BE的长；
（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）.当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值.
（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角（0°＜＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P.与直线BD交于点Q.是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）4，3；（2）当点F在线段AB上时，；当点F在线段AD上时，；
（3）存在，.

试题分析：（1）由勾股定理求得BD的长，根据三角形面积公式求出AE的长，再应用勾股定理即可求得BE的长.
（2）根据平移的性质求解即可.
（3）分DP=DQ（考虑点Q在线段BD的延长线和点Q在线段BD上两种情况），QP=QD，PD=PQ三种情况求解即可.
试题解析：（1）∵AB=5，AD=，∴由勾股定理得.
∵，∴，解得AE=4.
∴.
（2）当点F在线段AB上时，；当点F在线段AD上时，.
（3）存在，理由如下：
①当DP=DQ时，若点Q在线段BD的延长线上时，如答图1，有∠Q=∠1，则∠2=∠1+∠Q=2∠Q.
∵∠3=∠4+∠Q，∠3=∠2，∴∠4+∠Q=2∠Q.∴∠4=∠Q.
∴A′Q=A′B=5.∴F′Q=4+5=9.
在Rt△BF′Q中，，解得或（舍去）.

若点Q在线段BD上时，如答图2，有∠1=∠2=∠4，
∵∠1=∠3，∴∠3=∠4.
∵∠3=∠5+∠A′，∠A′=∠CBD，∴∠3=∠5+∠CBD=∠A′BQ.∴∠4=∠∠A′BQ.∴A′Q= A′B=5.
∴F′Q=5-4=1.∴.∴.

②当QP=QD时，如答图3，有∠P=∠1，
∵∠A′=∠1，∠2=∠3，∴∠4=∠P.∴∠4=∠A′.∴QB="Q" A′.
设QB="Q" A′=x，
在Rt△BF′Q中，设备，解得.

③当PD=PQ时，如答图4，有∠1=∠2=∠3，
∵∠1=∠A′，∴∠3=∠A′.∴BQ=A′B=5.
∴.
综上所述，当△DPQ为等腰三角形时，DQ的长为.