Question

9．如图，在?ABCD中，∠C=60°，E，F分别是AD，BC的中点，BC=2CD=4．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）求BD的长．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，证出DE∥CF，DE=CF，得出四边形CDEF是平行四边形，证出CD=CF，即可得出四边形CDEF是菱形；
（2）连接DF，证明△CDF是等边三角形，得出∠CDF=∠CFD=60°，求出∠BDF=30°，证出∠BDC=∠BDF+∠CDF=90°，由勾股定理即可得出答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AD，CF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DE∥CF，DE=CF，
∴四边形CDEF是平行四边形，
又∵BC=2CD，
∴CD=CF，
∴四边形CDEF是菱形；
（2）解：连接DF，如图所示：
∵CD=CF，∠C=60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠CDF=∠CFD=60°，
∵BF=DF，
∴∠BDF=30°，
∴∠BDC=∠BDF+∠CDF=90°，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是菱形的判定与性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．