Question

20．我们已经学习过一次函数和反比例函数的图象和性质，类似地可以对函数y=x-$\frac{1}{x}$进行探索．下列结论：①图象在第一、三象限；②图象与y轴无交点；③图象与x轴只有一个交点；④图象关于原点成中心对称；⑤当x＞0时，y随x的增大而增大；其中正确的结论是（　　）

• A． ①②③
• B． ①③⑤
• C． ②④⑤
• D． ③④⑤

Answer 1

分析 ①分x＜-1，-1＜x＜0、0＜x＜1、x＞1找出y的正负，由此可得出函数图象经过第一、二、三、四象限，①错误；②由x在分母上可得出x≠0，函数图象与y轴无交点，②正确（其实得出①不正确，②正确即可确定答案了）；③由当x=±1时，y=x-$\frac{1}{x}$=0，可得出函数图象与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0），③错误；④设点（m，n）（m≠0）为函数y=x-$\frac{1}{x}$图象上任意一点，根据函数图象上点的坐标特征可得出点（-m，-n）在函数y=x-$\frac{1}{x}$的图象上，即图象关于原点成中心对称，④正确；⑤利用做差法确定当x＞0时，y随x的增大而增大，⑤正确．综上即可得出结论．

解答 解：①当x＜-1时，y=x-$\frac{1}{x}$＜0；
当-1＜x＜0时，y=x-$\frac{1}{x}$＞0；
当0＜x＜1时，y=x-$\frac{1}{x}$＜0；
当x＞1时，y=x-$\frac{1}{x}$＞0．
∴函数图象经过第一、二、三、四象限，①错误；
②∵x为分母，
∴x≠0，
∴函数图象与y轴无交点，②正确；
③当x=±1时，y=x-$\frac{1}{x}$=0，
∴函数图象与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0），③错误；
④设点（m，n）（m≠0）为函数y=x-$\frac{1}{x}$图象上任意一点，
则n=m-$\frac{1}{m}$，-n=-m+$\frac{1}{m}$=-（m-$\frac{1}{m}$），
∴点（-m，-n）在函数y=x-$\frac{1}{x}$的图象上，
∴图象关于原点成中心对称，④正确；
⑤当x＞0时，设0＜x₁＜x₂，
则y₂-y₁=x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$-（x₁-$\frac{1}{{x}_{1}}$）=（x₂-x₁）+（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₂-x₁）+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=（x₂-x₁）（1+$\frac{1}{{x}_{1}•{x}_{2}}$）＞0，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，⑤正确．
综上所述：正确的结论有②④⑤．
故选C．

点评 本题考查了反比例函数的性质、一次函数的性质，逐一分析五条结论的正误是解题的关键．