【题目】在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点A、B.
(1)求a、b满足的关系式及c的值.
(2)当x<0时,若y=ax2+bx+c(a<0)的函数值随x的增大而增大,求a的取值范围.
(3)如图,当a=﹣1时,在抛物线上是否存在点P,使△PAB的面积为1?若存在,请求出符合条件的所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)b=2a+1,c=2;(2)≤a<0;(3)存在,点P(﹣1,2)或(﹣1+,1)或(﹣1﹣,﹣),理由见解析
【解析】
(1)求出点A、B的坐标,将其代入y=ax2+bx+c即可求解;
(2)当时,若y=ax2+bx+c()的函数值随x的增大而增大,则函数对称轴x,而,即可求解;
(3)过点P作直线l∥AB,作PQ∥y轴交BA于点Q,作PH⊥AB于点H,S△PAB=×AB×PH=×2×PQ×=1,则|yP﹣yQ|=1,即可求解.
(1)y=x+2,令x=0,则y=2,令y=0,则x=﹣2,
故点A、B的坐标分别为(﹣2,0)、(0,2),则c=2,
则函数表达式为:y=ax2+bx+2,
将点A坐标代入上式并整理得:b=2a+1;
(2)当x<0时,若y=ax2+bx+c(a<0)的函数值随x的增大而增大,
则函数对称轴x=≥0,而b=2a+1,
即:≥0,解得:,
故a的取值范围为:≤a<0;
(3)当a=﹣1时,二次函数表达式为:y=﹣x2﹣x+2,
过点P作直线l∥AB,作PQ∥y轴交BA于点Q,作PH⊥AB于点H,
∵OA=OB,∴∠BAO=∠PQH=45°,
S△PAB=×AB×PH=×2×PQ×=1,
则yP﹣yQ=1,
在直线AB下方作直线m,使直线m和l与直线AB等距离,
则直线m与抛物线两个交点坐标,分别与点AB组成的三角形的面积也为1,
故:|yP﹣yQ|=1,
设点P(x,﹣x2﹣x+2),则点Q(x,x+2),
即:﹣x2﹣x+2﹣x﹣2=±1,
解得:x=﹣1或,
故点P(﹣1,2)或(﹣1+,1)或(﹣1﹣,﹣).
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【题目】如图1,正方形纸片ABCD边长为2,折叠∠B和∠D,使两个直角的顶点重合于对角线BD上的一点P,EF、GH分别是折痕(图2),设AE=x(0<x<2),给出下列判断:①x=时,EF+AB>AC;②六边形AEFCHG周长的值为定值;③六边形AEFCHG面积为定值,其中正确的是( )
A.①②B.①③C.②D.②③
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【题目】 已知∠BAC=36°,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4,…,△AnBnAn+1都是顶角为36°的等腰三角形,即∠A1B1A2=∠A2B2A3=∠A3B3A4=…=∠AnBnAn+1=36°,点A1,A2,A3,…,An在射线AC上,点B1,B2,B3,…,Bn在射线AB上,若A1A2=1,则线段A2018A2019的长为______.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为2,点E是BC的中点,AE与BD交于点P,F是CD上一点,连接AF分别交BD,DE于点M,N,且AF⊥DE,连接PN,则以下结论中:①F为CD的中点;②3AM=2DE;③tan∠EAF=;④;⑤△PMN∽△DPE,正确的结论个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租,每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准,旺季每辆货车的日租金比淡季上涨.据统计,淡季该公司平均每天有辆货车未出租,日租金总收入为元;旺季所有的货车每天能全部租出,日租金总收入为元.
(1)该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆?淡季每辆货车的日租金多少元?
(2)经市场调查发现,在旺季如果每辆货车的日租金每上涨元,每天租出去的货车就会减少辆,不考虑其它因素,每辆货车的日租金上涨多少元时,该出租公司的日租金总收入最高?
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【题目】如图,在正方形ABCD中,AB=2,点E是CD的中点,连接AE,将△ADE沿AE折叠至△AHE,连接BH,延长AE,BH交于点F;BF,CD交于点G,则FG=_______.
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【题目】为了维护海洋权益,新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度。一天,我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻,同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域。如图所示,AB=60海里,在B处测得C在北偏东45的方向上,A处测得C在北偏西30的方向上,在海岸线AB上有一灯塔D,测得AD=120海里。
(1)分别求出A与C及B与C的距离AC,BC(结果保留根号)
(2)已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群,我在A处海监船沿AC前往C处盘查,途中有无触礁的危险?
(参考数据:=1.41,=1.73,=2.45)
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【题目】中华文明,源远流长,中华汉字,寓意深广.为传承中华优秀传统文化,某中学德育处组织了一次全校2000名学生参加的“汉字听写”大赛.为了解本次大赛的成绩,学校德育处随机抽取了其中200名学生的成绩作为样本进行统计,制成如下不完整的统计图表:
成绩x(分)分数段 | 频数(人) | 频率 |
50≤x<60 | 10 | 0.05 |
60≤x<70 | 30 | 0.15 |
70≤x<80 | 40 | 0.2 |
80≤x<90 | m | 0.35 |
90≤x<100 | 50 | n |
频数分布直方图
根据所给的信息,回答下列问题:
(1)m=________;n=________;
(2)补全频数分布直方图;
(3)这200名学生成绩的中位数会落在________分数段;
(4)若成绩在90分以上(包括90分)为“优”等,请你估计该校参加本次比赛的2000名学生中成绩是“优”等的约有多少人?
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