Question

4．（1）若a-$\frac{1}{a}$=$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$，求a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$的值；
（2）若△ABC中．AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为多少？

Answer 1

分析 （1）a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=（a-$\frac{1}{a}$）²+2，代入计算即可得出结果；
（2）由勾股定理求出BD、CD，分两种情况：①△ABC是锐角三角形时，如图1所示：BC=BD+CD；②△ABC是钝角三角形时，BC=CD-BD；即可得出结果．

解答 解：（1）a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$
=（a-$\frac{1}{a}$）²+2
=（$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$）²+2
=5+2$\sqrt{6}$+2
=7+2$\sqrt{6}$；
（2）∵AD是高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=5，CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}-1{2}^{2}}$=9；
分两种情况：
①△ABC是锐角三角形时，如图1所示：
BC=BD+CD=5+9=14；
②△ABC是钝角三角形时，如图2所示：
BC=CD-BD=9-5=4；
综上所述：BC的长为14cm，或4cm．

点评 本题考查了二次根式的化简求值、勾股定理；熟练掌握二次根式的化简求值和勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．