Question

已知抛物线的函数关系式：y=x²+2（a-1）x+a²-2a（其中x是自变量），
（1）若点P（2，3）在此抛物线上，
①求a的值；
②若a＞0，且一次函数y=kx+b的图象与此抛物线没有交点，请你写出一个符合条件的一次函数关系式（只需写一个，不要写过程）；
（2）设此抛物线与轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0）．若x₁＜

3

＜x₂，且抛物线的顶点在直线x=

3

4

的右侧，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）①将P点坐标代入抛物线的解析式中即可求出a的值．
②可根据①得出的a的值求出抛物线的解析式，然后根据抛物线的解析式即可写出符合条件的一次函数关系式．
（2）本题可从两方面考虑：
①根据x₁＜

3

＜x₂，以及抛物线的开口向上可得出当x=

3

时，函数值必小于0，由此可得出一个a的取值范围．
②由于抛物线的顶点在直线x=

3

4

的右侧，也就是说抛物线的对称轴在x=

3

4

的右侧，由此可得出另一个a的取值范围．结合两种情况即可求出a的取值范围．

解答：解：（1）①将P（2，3）代入y=x²+2（a-1）x+a²-2a
得a²+2a-3=0，（a+3）（a-1）=0
∴a=-3或a=1
②∵a＞0，
∴由（1）知a=1，原函数化简为y=x²-1，
故与此抛物线无交点的直线可以是y=x-2．

（2）∵顶点在x=

3

4

右侧，即对称轴x=-

2(a-1)

2×1

=1-a在x=

3

4

的右侧，
∴1-a＞

3

4

∴a＜

1

4

由于x₁＜

3

＜x₂；
∴抛物线在自变量取

3

时，
∵变量必小于0．
∴3+2

3

（a-1）+a²-2a＜0；
解得-

3

＜a＜2-

3

∵x=-（a-1）＞

3

4

，即a＜

1

4

；
∴-

3

＜a＜

1

4

．

点评：本题主要考查了二次函数的相关知识．