Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=60°，AD=3cm，BC=9cm．⊙O₁的圆心O₁从点A开始沿折线A-D-C以1cm/s的速度向点C运动，⊙O₂的圆心O₂从点B开始沿BA边以cm/s的速度向点A运动，⊙O₁半径为2cm，⊙O₂的半径为4cm，若O₁，O₂分别从点A、点B同时出发，运动的时间为ts．
（1）设经过t秒，⊙O₂与腰CD相切于点F，过点F画EF⊥DC，交AB于E，则EF=______；
（2）过E画EG∥BC，交DC于G，画GH⊥BC，垂足为H．则∠FEG=______；
（3）求此时t的值；
（4）在0＜t≤3范围内，当t为何值时，⊙O₁与⊙O₂外切？

Answer 1

【答案】分析：（1）当⊙O₂与腰CD相切时，EF的长为⊙O₂的半径，故EF的长为4cm；
（2）通过画图可知：△CGH为直角三角形，由∠CGH+∠EGF=90°，∠EGF+∠FEG=90°，可得：∠FEG=∠CGH，在Rt△CGH中，已知∠C，从而可求出∠FEG；
（3）在Rt△EFG中，可将EG的长度的长度表示出来，已知∠FEG的度数，根据三角函数值可将t求出；
（4）作辅助线，连接两圆心，将O₁A、O₂A的长表示出来，在Rt△O₁O₂A中，根据勾股定理可将时间t求出．
解答：解：（1）∵当⊙O₂与腰CD相切时，EF的长为⊙O₂的半径，
∴EF=4cm；

（2）∵∠CGH+∠EGF=90°，∠EGF+∠FEG=90°，
∴∠FEG=∠CGH，
在Rt△CGH中，∠C=60°，
∴∠CGH=30°，
∴∠FEG=30°；

（3）设点O₂运动到点E处时，⊙O₂与腰CD相切．依题意画图，如图所示，
在直角△CGH中，∠C=60°，∠CGH=30°，GH=，
∴CH=t，BH=GE=9-t；
在Rt△EFG中，∠FEG=30°，EF=4，GE=9-t；
在Rt△EFG中，EF=GE×cos∠FEG，即：4=（9-t）×；
∴t=（9-）秒；

（4）由于0＜t≤3，所以，点O₁在边AD上，
如图所示，连接O₁O₂，由两圆外切可知O₁O₂=6cm；
AB=（BC-AD）×tan60°=6×=6，
∴O₂A=6-t，
在Rt△O₁O₂A中，由勾股定理得：t²+（6-t）²=6²，即t²-9t+18=0，
解得t₁=3，t₂=6（不合题意，舍去）
∴经过3秒，⊙O₁与⊙O₂外切．
故答案为：4cm；30°．
点评：本题主要考查圆与圆的位置关系，锐角三角函数、勾股定理等知识的综合应用．