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【题目】如图,正方形中,点分别在线段上运动,且满足分别与相交于点,下列说法中:到线段的距离一定等于正方形的边长;,则,则.其中结论正确的是___________;(将正确的序号填写在横线上)

【答案】①②③④

【解析】

如图,根据旋转的性质得到BH=DFAH=AF,∠BAH=DAF,得到∠EAH=EAF=45°,根据全等三角形的性质得到EH=EF,∠AEB=AEF,于是得到BE+BH=BE+DF=EF,故①正确;过AAGEFG,根据全等三角形的性质得到AB=AG,于是得到点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长;故②正确;根据三角函数的定义设BE=mAB=2m,求得CE=m,设DF=x,则CF=2m-xEF=BE+DF=m+x,根据勾股定理得到x=m,于是得到tanDAF= ;故③正确;求得EF=BE+DF=5,设BC=CD=n,根据勾股定理即可得到结论.

如图,把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH

由旋转的性质得,BH=DFAH=AF,∠BAH=DAF

∵∠EAF=45°,

∴∠EAH=BAH+BAE=DAF+BAE=90°-EAF=45°,

∴∠EAH=EAF=45°,

在△AEF和△AEH

∴△AEF≌△AEHSAS),

EH=EF

∴∠AEB=AEF

BE+BH=BE+DF=EF

故①正确;

AAGEFG

∴∠AGE=ABE=90°,

在△ABE与△AGE

∴△ABE≌△AGEAAS),

AB=AG

∴点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长;故②正确;

tanBAE==

∴设BE=mAB=2m

CE=m

DF=x,则CF=2m-xEF=BE+DF=m+x

CF2+CE2=EF2

∴(2m-x2+m2=m+x2

x=m

tanDAF=;故③正确;

BE=2DF=3

EF=BE+DF=5

BC=CD=n

CE=n-2CF=n-3

EF2=CE2+CF2

25=n-22+n-32

n=6(负值舍去),

AG=6

SAEF=×6×5=15.故④正确,

故答案为:①②③④.

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