Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB=4，AD=5，CD=5．E为底边BC上一点，以点E为圆心，BE为半径画⊙E交线段DE于点F．
（1）如图，当点F在线段DE上时，设BE=x，DF=y，试建立y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当以CD为直径的⊙O与⊙E相切时，求x的值；
（3）连接AF、BF，当△ABF是以AF为腰的等腰三角形时，求x的值．

Answer 1

（1）如图1，过点D作DG⊥BC于点G．
可得DG=AB=4，BG=AD，GC=3，BC=8，EG=5-x；
在Rt△DEG中，
∴DE²=EG²+DG²，即（x+y）²=4²+（5-x）²；
∴y=

(5-x)2+16

-x（负值舍去）
定义域：0＜x≤4.1；

（2）设CD的中点O，连接EO，过点O作OH⊥BC于点H．
OC=

5

2

，OH=2，HC=

3

2

，EH=8-x-

3

2

；
①⊙O与⊙E外切时，OE=x+

5

2

在Rt△OEH中，OE²=OH²+EH²，
∴2²+（8-x-

3

2

）²=（x+

5

2

）²
∴4+x²-13x+

169

4

=x²+5x+

25

4

，
∴18x=40，
化简并解得x=

20

9

；
②⊙O与⊙E内切时，OE=|x-

5

2

|
在Rt△OEH中，OE²=OH²+EH²，
∴2²+（8-x-

3

2

）²=（x-

5

2

）²，
∴4+x²-13x+

169

4

=x²-5x+

25

4

，
∴8x=40，
化简并解得x=5；
综上所述，当⊙O与⊙D相切时，x=5或

20

9

；

（3）如图2，连接AF，AE，
当AF=AB=4时，由BE=EF，AE=AE，有△ABE和△AEF全等，
∴∠AFE=∠ABE=90°，即AF⊥DE
在Rt△AFD中，DF=

AD2-AF2

=3；
由y=

(5-x)2+16

-x=3，解得x=2；
如图3，当FA=FB时，过点F作QF⊥AB于点Q，有AQ=BQ，且AD∥BC∥FQ，
∴DF=EF，y=

(5-x)2+16

-x=x，x=

-5±2 37

3

（负值舍去）；
综上所述，当△ABF是以AF为腰的等腰三角形时，
x=2或

-5+2 37

3

．