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如图,在正方形中,边上的中点,相交于点,连接.(注:正方形的四边相等,四个角都是直角,每一条对角线平分一组对角). 

(1) 在不增加点和线的前提下,直接写出图中所有的全等三角形.(不要求证明)

(2) 连接试判断的位置关系,并证明你的结论.

(3)延长于点,试判断的数量关系,并说明理由.

 

【答案】

(1)△ABC≌△ADC,△ABF≌△ADF,△BCF≌△DCF;(2)AE⊥DF;(3)BM=MC.

【解析】

试题分析:(1)根据正方形的性质得到相关的条件即可找出全等的三角形;

(2)可证△BCF≌△DCF得∠CBF=∠CDF,再证△ADE≌△BCE得∠DAE=∠CBE,故∠DAE=∠CDF,又∠DAE+∠AED=90°,则∠CDF +∠AED=90°,即AE⊥DF;

(3)可证△DCM≌△BCE得CE=CM,又CE=CD,CD=BC,故CM=BC,即BM=MC.

(1)△ADF≌△ABF,△ADC≌△ABC,△CDF≌△CBF;

(2)AE⊥DF.

证明:设AE与DF相交于点H.

∵四边形ABCD是正方形,

∴AD=AB,∠DAF=∠BAF.

又∵AF=AF,

∴△ADF≌△ABF.

∴∠1=∠2.

又∵AD=BC,∠ADE=∠BCE=90°,DE=CE,

∴△ADE≌△BCE.

∴∠3=∠4.

∵∠2+∠4=90°,

∴∠1+∠3=90°,

∴∠AHD=90°.

∴AE⊥DF;

(3)如图所示:

∵∠ADE=90°,AE⊥DF.

∴∠1+∠5=90°,∠3+∠1=90°.

∴∠3=∠5,

∵∠3=∠4,

∴∠4=∠5.

∵DC=BC,∠DCM=∠BCE=90°,

∴△DCM≌△BCE.

∴CE=CM,

又∵E为CD中点,且CD=CB,

∴CE=CD=BC,

∴CM=CB,即M为BC中点,

∴BM=MC.

考点:本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定

点评:解答本题的关键是充分利用正方形的特殊性质来找到全等的条件,在判定全等后利用全等三角形的性质解题.

 

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