分析 (1)根据折叠的性质和全等三角形的判定定理证明△BOD≌△CDE,求出CE,计算出AE,得到点E的坐标;
(2)根据相似三角形的性质用t表示出CE,根据梯形的面积公式用t表示S;
(3)根据二次函数的性质求出AE的最小值,求出点E的坐标.
解答 解:(1)由折叠的性质可知,∠ODB=∠ODB′,∠EDC=∠EDC′,
∴∠ODE=90°,
∴∠BDO+∠CDE=90°,又∠BDO+∠BOD=90°,
∴∠BOD=∠CDE,
∵BD=t=1,BC=4,
∴CD=3,又OB=3,
∴OB=CD,
在△BOD和△CDE中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{OB=CD}\\{∠BOD=∠CDE}\end{array}\right.$,
∴△BOD≌△CDE,
∴CE=BD=1,
∴AE=AC-CE=2,
∴点E的坐标为(4,2);
(2)∵BD=t,
∴DC=BC-BD=4-t,
由(1)得,∠BOD=∠CDE,又∠B=∠C=90°,
∴△ODB∽△DCE,
∴$\frac{BD}{CE}=\frac{OB}{DC}$,即$\frac{t}{CE}=\frac{3}{4-t}$,
解得,CE=$-\frac{1}{3}$t2+$\frac{4}{3}$t,
∴S=$\frac{1}{2}$×(CE+OB)×BC=$\frac{1}{2}$×($-\frac{1}{3}$t2+$\frac{4}{3}$t+3)×4,
∴S=$-\frac{2}{3}$t2+$\frac{8}{3}$t+6(0<t<4);
(3)在Rt△OEA中,OE2=OA2+AE2=42+AE2,
∴当AE最小时,OE最小,
由(2)得,CE=$-\frac{1}{3}$t2+$\frac{4}{3}$t,
∴AE=AC-CE=$\frac{1}{3}$t2-$\frac{4}{3}$t+3=$\frac{1}{3}$(x-2)2+$\frac{5}{3}$,
当t=2时,AE的最小值为$\frac{5}{3}$,
此时点E的坐标为(4,$\frac{5}{3}$).
点评 本题考查的是矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质以及二次函数的性质,掌握折叠的性质、根据二次函数的性质求出最小值是解题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 2 | B. | 2$\sqrt{6}$ | C. | 3 | D. | 4 |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | -$\frac{1}{x+2}$ | B. | 1-x | C. | 1 | D. | -1 |
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | ①②③ | B. | ①②④ | C. | ②③④ | D. | ①③④ |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1+$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$ | B. | $\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$ | C. | 2+$\sqrt{3}$ | D. | 1+2$\sqrt{2}$ |
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