Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．

（1）求证：四边形AEFD是矩形；

（2）若AC＝10，∠ABC＝60°，则矩形AEFD的面积是　 　．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）50

【解析】

（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；

（2）根据全等三角形的判定定理得到Rt△ABE≌Rt△DCF （HL），求得矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，根据等腰三角形的性质得到结论．

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∵CF＝BE，

∴BC＝EF，

∴AD∥EF，AD＝EF，

∴四边形AEFD是平行四边形，

∵AE⊥BC，

∴∠AEF＝90°，

∴平行四边形AEFD是矩形；

（2）∵AB＝CD，BE＝CF，∠AEB＝∠DFC＝90°，

∴Rt△ABE≌Rt△DCF （HL），

∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，

∵∠ABC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∵AC＝10，

∴AO＝AC＝5，AB＝10，BO＝5，

∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积＝×10×10＝50，

故答案为：50．