Question

如图，在等边三角形△ABC中，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，且PR=PS，下面给出的四个结论：①点P在∠A的平分线上，②AS=AR，③QP∥AR，④△BRP≌△QSP，则其中正确的是（　　）

A．全部正确

B．仅①和②正确

C．仅②和③正确

D．仅①和③正确

Answer 1

分析：根据角平分线性质即可推出①，根据勾股定理即可推出AR=AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可；求出PQ=CP=BP，根据AAS推出△BRP≌△QSP即可．

解答：解：∵PR⊥AB于点R，PS⊥AC，PR=PS，
∴点P在∠A的平分线上，∴①正确；
∴∠QAP=∠BAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR²=AP²-PR²，AS²=AP²-PS²，
∵AP=AP，PR=PS，
∴AR=AS，∴②正确；
∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP∥AR，∴③正确；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠CAB=60°，AB=AC，
∵∠QAP=∠BAP，
∴BP=CP，
∵QP∥AB，
∴∠QPC=∠B=60°=∠C，
∴PQ=CQ，
∴△PQC是等边三角形，
∴PQ=CP=BP，∠SQP=60°=∠B，
∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴∠BRP=∠PSQ=90°，
在△BRP和△QSP中

∠BRP=∠PSQ ∠B=∠SQP BP=PQ

∴△BRP≌△QSP，∴④正确；
故选A．

点评：本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，角平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力．