Question

【题目】数学课上，潘老师给出如下定义:如果一个三角形有一边上的高线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“垂美三角形”，这条边称为这个三角形的“垂美边”.

概念理解:

(1)如图①，已知∠A＝90°，AB＝AC，请证明等腰Rt△ABC一定是“垂美三角形”.

探索运用:

(2)已知等腰△ABC是“垂美三角形”，请求出顶角的度数.

能力提升：

(3)如图②，在直角坐标系中，点A为x轴正半轴上动点，在反比例函数的图象上是否存在点B，使△OAB是“垂美三角形”，且OA，OB均为“垂美边”，若存在，请求出点B的坐标.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)顶角为30°，90°或150°；(3)存在点B1(，1)、B2(-，-1)，使△OAB是“垂美三角形”，且OA，OB均为“垂美边

【解析】

过点A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的三线合一即可求证；

分三种情况求∠BAC的度数：①若AB＝AC，BC是“垂美边”； ②若BA＝BC，BC是“垂美边”； ③若CA＝CB，BC是“垂美边”

(3) 当△OAB是“垂美三角形”，且OA，OB均为“垂美边”，设△ABC的边OA、OB上的高分别记为ha、hb，则由“垂美三角形”的定义可知，ha=OA， hb=OB.根据面积相等，得出OA=OB, ∠AOB的度数为30°或150°. 设B（m，）即可得出B点坐标

(1)证明：如图，过点A作AH⊥BC于H.

∵AB＝AC，

∴H是BC中点，

∵∠BAC＝90°，

∴AH＝BC，

∴等腰Rt△ABC是“垂美三角形”.

(2)①如图，若AB＝AC，BC是“垂美边”，过点A做AH⊥BC于H.

则AH＝BH＝CH，且AH⊥BC，

∴∠B＝∠C＝45°，

∴∠BAC＝90°；

②如图，若BA＝BC，BC是“垂美边”，过点A做AH⊥BC于H，

则BC＝2AH＝AB，且AH⊥BC，

∴∠B＝30°；

③如图，若CA＝CB，BC是“垂美边”，过点A做AH⊥BC交BC的延长线于H，

则BC＝2AH＝AC，且AH⊥BC，

∴∠ACD＝30°，从而∠ACB＝150°.

综上所述，顶角为30°，90°或150°.

(3)当△OAB是“垂美三角形”，且OA，OB均为“垂美边”，设△ABC的边OA、OB上的高分别记为ha、hb，则由“垂美三角形”的定义可知，ha=OA， hb=OB.

而S△ABC=OA ha=OA hb，

∴OA=OB.

由(2)可知，∠AOB的度数为30°或150°.

设B（m，）则由“垂美三角形”的定义有：=OA，从而OA2=.

又OB2=m2+，则有OA=OB可得： ，解得m=.

故存在点B1(，1)、B2(-，-1)，使△OAB是“垂美三角形”，且OA，OB均为“垂美边”.