Question

1．△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α（0°＜α≤90°），点F，G，P分别是DE，BC，CD的中点，连接PF，PG．
（1）如图①，α=90°，点D在AB上，则∠FPG=90°；
（2）如图②，α=60°，点D不在AB上，判断∠FPG的度数，并证明你的结论；
（3）连接FG，若AB=5，AD=2，固定△ABC，将△ADE绕点A旋转，当PF的长最大时，FG的长为7sin（90°-$\frac{α}{2}$）（用含α的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC、AD=AE，得BD=CE，再根据G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，可得出PG∥BD，PF∥CE．则∠GPF=180°-∠α=90°；
（2）连接BD，连接CE，由已知可证明△ABD≌△ACE，则∠ABD=∠ACE．因为G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，则PG∥BD，PF∥CE．进而得出∠GPF=180°-∠α=120°；
（3）当D在BA的延长线上时，CE=BD最长，此时BD=AB+AD=5+2=7，再由三角形中位线定理即可算出PG=3.5，在Rt△GPH中，由三角函数的定义即可求出GH，进一步求出FG．

解答 解：（1）∵AB=AC、AD=AE，
∴BD=CE，
∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，
∴PG∥BD，PF∥CE．
∴∠ADC=∠DPG，∠DPF=∠ACD，
∴∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠ADC+∠ACD=180°-∠BAC=180°-∠α=90°，
即∠GPF=90°；
（2）∠FPG=120°；理由如下：
连接BD，连接CE．如图②
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，
∴PG∥BD，PF∥CE．
∴∠PGC=∠CBD，∠DPF=∠DCE=∠DCA+∠ACE=∠DCA+∠ABD，∠DPG=∠PGC+∠BCD=∠CBD+∠BCD，
∴∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠DCA+∠ABD+∠CBD+∠BCD=180°-∠BAC=180°-∠α=120°，
即∠GPF=120°；
（3）连结BD，CE，过P作PH⊥FG于H，如图③，
由（2）可知，△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，且PG=PF=$\frac{1}{2}$BD，当D在BA的延长线上时，CE最长，即BD最长，此时BD=AB+AD=5+2=7，
∴PG=3.5，
∵PF=PG，PH⊥FG，
∴∠GPH=$\frac{1}{2}$∠FPG=$\frac{1}{2}$（180°-∠α）=90°-$\frac{1}{2}$α，FG=2HG，
∴FG=2HG=2PG•sin∠GPH=2×3.5×sin（90°-$\frac{α}{2}$）=7sin（90°-$\frac{α}{2}$），
故答案为7sin（90°-$\frac{α}{2}$）．

点评 本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，题目的综合性较强，难度较大，解题的关键是正确作出图形的辅助线，构造直角三角形，利用直角三角形的性质解决问题．