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如图,在平面直角标系中,已知点A(0,6),B(8,0),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,同时点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒.
(1)求直线AB的解析式;
(2)求t为何值时,△APQ与△AOB相似?并求出此时点P与点Q的坐标;
(3)当t为何值时,△APQ的面积为个平方单位?

【答案】分析:(1)用待定系数法可直接求出直线AB的解析式;
(2)用含t的代数式表示AP、AQ,根据三角形相似的对应关系,利用相似比求出时间t;再利用相似比可求点P与点Q的坐标;
(3)利用相似比求出△APQ的AP边上的高,根据面积公式列方程求t.
解答:解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,
解得∴y=-x+6;

(2)由题意可知AO=6,BO=8,则AB=10,且AP=t,BQ=2t,△APQ与△AOB相似有两种情况:
①当∠APQ=∠AOB时,如图(1),有=,即=,解得t=
则OP=6-=,则P的坐标是:(0,),
∵∠APQ=∠AOB,
∴PQ∥OB
=
,解得:PQ=
则Q的坐标是:();
②当∠AQP=∠AOB时,如图(2),有=,即=,解得t=
则OP=OA-AP=6-=
则P的坐标是:(0,),
作QM⊥y轴,于M点.
△OAB与△QAP的相似比是:=
△OAB的面积是:OA•OB=×6×8=24,
则△QAP的面积是:24×(2=
∵S△QAP=AP•MQ,即=וMQ,
解得:MQ=
∵MQ∥OB
=
=,解得:AM=
则OM=
故Q的坐标是:();

(3)过Q作QH⊥OA于H,如图,
∴△AHQ∽△AOB,
=
=
∴HQ=(10-2t),
•t•(10-2t)=
解得t=2或t=3.
点评:本题考查了待定系数法求直线解析式,直角坐标系中的相似性质的运用,面积等问题.
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(1)求直线AB的解析式;
(2)求t为何值时,△APQ与△AOB相似?并求出此时点P与点Q的坐标;
(3)当t为何值时,△APQ的面积为
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个平方单位?
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