【题目】如图,抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3),B(-1,0),请解答下列问题:
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的顶点为点D,对称轴与x轴交于点E,连接BD,求BD的长.
(3)点F在抛物线的对称轴上运动,是否存在点F,使△BFC的面积为4,如果存在,求出点F的坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=-x2+2x+3;(2)2;(3)(1,2)或(1,-2).
【解析】
(1)利用待定系数法求抛物线解析式;
(2)把(1)的解析式配成顶点式得到D点坐标,然后两点间的距离公式计算BD的长;
(3)先利用对称性确定C点坐标,设F(1,m),根据三角形面积公式得到(3+1)|m|=4,然后解绝对值方程求出m即可得到点F的坐标.
(1)把A(0,3),B(-1,0)代入y=ax2+2x+c得,即得,
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3;
(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴D(1,4),
∴BD==2;
(3)存在.
∵抛物线的对称性为直线x=1,B(-1,0),
∴C(3,0),
设F(1,m),
∵△BFC的面积为4,
∴(3+1)|m|=4,
∴|m|=2,解得m=2或m=-2,
∴点F的坐标为(1,2)或(1,-2).
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【题目】如图:已知点A、B是反比例函数y=﹣上在第二象限内的分支上的两个点,点C(0,3),且△ABC满足AC=BC,∠ACB=90°,则线段AB的长为__.
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【题目】如图,在长方形中,为平面直角坐标系的原点,点坐标为,点的坐标为,且,满足,点在第一象限内,点从原点出发,以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动.
(1)点的坐标为___________;
(2)当点移动4秒时,请指出点的位置,并求出点的坐标;
(3)在移动过程中,当点到轴的距离为5个单位长度时,求点移动的时间.
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【题目】如图,三角形纸片中,AB=5cm,AC=7cm,BC=9cm.沿过点B的直线折叠这个三角形,使点A落在BC边上的点E处,折痕为BD,则△DEC的周长是________cm.
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【题目】如图,一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向,与灯塔P的距离为80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处,求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离.(参考数据:≈2.449,结果保留整数)
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【题目】如图,正方形的对角线和相交于点,正方形的边交于点,交于点.
(1)求证:;
(2)如果正方形的边长为,那么正方形绕点转动的过程中,与正方形重叠部分的面积始终等于__________.(用含的代数式表示)
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【题目】某服装店用4500元购进A,B两种新式服装,按标价售出后可获得毛利润2800元(毛利润=售价一进价),这两种服装的进价、标价如表所示
类型价格 | A型 | B型 |
进价(元/件) | 60 | 100 |
标价(元/件) | 100 | 160 |
(1)请利用二元一次方程组求A,B两种新式服装各购进的件数;
(2)如果A种服装按标价的9折出售,B种服装按标价的8折出售,那么这批服装全部售完后,服装店比按标价出售少收入多少元?
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【题目】如图,以正方形的中心O为顶点作一个直角,直角的两边分别交正方形的两边BC、DC于E、F点,问:
(1)△BOE与△COF有什么关系?证明你的结论(提示:正方形的对角线把正方形分成全等的四个等腰直角三角形,即正方形的对角线垂直相等且相互平分);
(2)若正方形的边长为2,四边形EOFC的面积为多少?
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