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当x=2时,抛物线y=ax2+bx+c取得最小值-1,并且抛物线与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点A、B.
(1)求该抛物线的关系式;
(2)若点M(x,y1),N(x+1,y2)都在该抛物线上,试比较y1与y2的大小;
(3)D是线段AC的中点,E为线段AC上一动点(A、C两端点除外),过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F.问:是否存在△DEF与△AOC相似?若存在,求出点E的坐标;若不存在,则说明理由.

【答案】分析:(1)已知,当x=2时,抛物线的最小值为-1,因此抛物线的顶点坐标为(2,-1);可用顶点式来设抛物线的解析式,然后将C的坐标代入即可求出抛物线的解析式.
(2)可先将M,N的坐标代入(1)的抛物线解析式中,可得出y1、y2的表达式.然后让y1-y2,然后看得出的结果中在x的不同取值范围下,y1、y2的大小关系.
(3)由于EF∥OC,那么∠FED=45°,因此要使三角形EFD与三角形COA相似,只有两种情况:
①当D为直角顶点时,∠EDF=90°,由于D是AC中点,而FD⊥AC,三角形AOC又是个等腰直角三角形,因此DF正好在∠COA的平分线上,即DF在直线y=x上,此时可先求出直线AC的函数关系式,然后联立抛物线的解析式求出F的坐标,由于E、F的横坐标相同,将F的横坐标代入AC所在的直线的解析式中即可求出E点的坐标.
②当F为直角顶点时,∠EFD=90°,那么DF与三角形AOC的中位线在同一直线上,即DF所在的直线的解析式为y=,然后可根据①的方法求出E点的坐标.
解答:解:(1)由题意可设抛物线的关系式为
y=a(x-2)2-1
因为点C(0,3)在抛物线上
所以3=a(0-2)2-1,即a=1
所以,
抛物线的关系式为y=(x-2)2-1=x2-4x+3;

(2)∵点M(x,y1),N(x+1,y2)都在该抛物线上
∴y1-y2=(x2-4x+3)-[(x+1)2-4(x+1)+3]=3-2x
当3-2x>0,即x<时,y1>y2
当3-2x=0,即x=时,y1=y2
当3-2x<0,即x>时,y1<y2

(3)令y=0,即x2-4x+3=0,
得点A(3,0),B(1,0),线段AC的中点为D(
直线AC的函数关系式为y=-x+3
因为△OAC是等腰直角三角形,
所以,要使△DEF与△AOC相似,△DEF也必须是等腰直角三角形.
由于EF∥OC,因此∠DEF=45°,
所以,在△DEF中只可能以点D、F为直角顶点.
①当F为直角顶点时,DF⊥EF,此时△DEF∽△ACO,DF所在直线为
由x2-4x+3=,解得x=,x=(舍去)
代入y=-x+3,
得点E(
②当D为直角顶点时,DF⊥AC,此时△DEF∽△OAC,由于点D为线段AC的中点,
因此,DF所在直线过原点O,其关系式为y=x.
解x2-4x+3=x,得(舍去)
代入y=-x+3,
得点E().
点评:本题结合等腰三角形的相关知识考查了一次函数及二次函数的应用,要注意的是(3)中在不确定△EDF的直角顶点的情况下要分类进行讨论,不要漏解.
练习册系列答案
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当x=2时,抛物线y=ax2+bx+c取得最小值-1,并且抛物线与y轴交于点C(0,3),与x轴精英家教网交于点A、B.
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如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上,OA=16cm,OC=8cm,现有两动点P、Q分别从O、C同时出发,P在线段OA上沿OA方向以每秒2cm的速度匀速运动,Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动.设运动时间为t秒.
(1)用含t的式子表示△OPQ的面积S;
(2)判断四边形OPBQ的面积是否是一个定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由;
(3)当△OPQ∽△ABP时,抛物线y=
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x2+bx+c经过B、P两点,求抛物线的解析式;
(4)在(3)的条件下,过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N,求线段MN的最大值.

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(2013•惠安县质检)如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上,OA=8,OC=4.现有两动点P、Q分别从O、C同时出发,点P在线段OA上沿OA方向以每秒2个单位长的速度匀速运动,点Q在线段CO上沿CO方向以每秒1个单位长的速度匀速运动.设运动时间为t秒.
(1)填空:OP=
2t
2t
,OQ=
4-t
4-t
;(用含t的式子表示)
(2)试证明:四边形OPBQ的面积是一个定值,并求出这个定值;
(3)当∠QPB=90°时,抛物线y=
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x2+bx+c
经过B、P两点,过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于点N,交线段CB于点G,交x轴于点H,连结PG,BH,试探究:当线段MN的长取最大值时,判定四边形GPHB的形状.

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如图,当x=2时,抛物线y=ax2+bx+c取得最小值-1,并且与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点A,B(A在B的右边).
(1)求抛物线的解析式.
(2)D是线段AC的中点,E为线段AC上的一动点(不与A,C重合),过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F.问:是否存在△DEF与△AOC相似?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△APD为等腰三角形?若存在,请直接写出点p的坐标;若不存在,请说明理由.

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当m=
2
2
时,抛物线y=x2-2mx+4m+1的顶点位置最高.

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