Question

已知⊙O的直径为15，弦AB∥CD，AB=9，CD=12，那么两弦的距离是

 

．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：计算题,分类讨论

分析：分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，连接OA，OC，交AB于点F，连接OA，OC，由AB∥CD，得到OE⊥AB，利用垂径定理得到E与F分别为CD与AB的中点，在直角三角形AOF中，利用勾股定理求出OF的长，在三角形COE中，利用勾股定理求出OE的长，由OE-OF即可求出EF的长；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理由OE+OF求出EF的长即可．

解答：解：分两种情况考虑：
当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，
过O作OE⊥AB，交CD于点F，交AB于点E，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∴E、F分别为CD、AB的中点，
∴CF=DF=

1

2

CD=6cm，AE=BE=

1

2

AB=4.5cm，
在Rt△AOE中，OA=7.5cm，AE=4.5cm，
根据勾股定理得：OE=

7.52-4.52

=6cm，
在Rt△COF中，OC=7.5cm，CF=6cm，
根据勾股定理得：OF=

7.52-62

=

9

2

cm，
则EF=OE-OF=6-

9

2

=

3

2

cm；
当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得EF=6+

9

2

=

21

2

cm，
综上，弦AB与CD的距离为

3

2

cm或

21

2

cm．
故答案为：

3

2

cm或

21

2

cm．

点评：本题考查的是垂径定理、勾股定理及三角形中位线定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．