Question

15．如图△ABC中，D、E分别是AB、AC中点，过E作EF∥AB交BC于F．
（1）求证：四边形DBFE为平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE为菱形，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形，得出BD=BF，推出AB=BC即可．

解答 （1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形；

（2）解：当AB=BC时，四边形DBFE是菱形．
理由如下：∵D是AB的中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC，
∵AB=BC，
∴BD=DE，
又∵四边形DBFE是平行四边形，
∴四边形DBFE是菱形．

点评 本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定以及菱形与平行四边形的关系，熟记性质与判定方法是解题的关键．