【题目】已知:如图,∠MON=40°,OE平分∠MON,A,B,C分别是射线OM,OE,ON上的动点(A,B,C不与点O 重合),连接AC交射线OE于点D.设∠OAC=x°.
(1)如图①,若AB∥ON,则
①∠ABO的度数是________.
②当∠BAD=∠ABD时,x=________;当∠BAD=∠BDA时,x=________.
(2)如图②,若AB⊥OM,则是否存在这样的x值,使得△ADB中有两个相等的角?若存在,求出x的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)①20°,②120°,③60°;(2)存在,x=50、20、35或125
【解析】
试题(1)①运用平行线的性质以及角平分线的定义,可得①∠ABO的度数;②根据∠ABO、∠BAD的度数以及△AOB的内角和,可得x的值;(2)分两种情况进行讨论:AC在AB左侧,AC在AB右侧,分别根据三角形内角和定理以及直角的度数,可得x的值.
试题解析:如图1,①∵∠MON=36°,OE平分∠MON,
∴∠AOB=∠BON=18,
∵AB∥ON,
∴∠ABO=18;
②当∠BAD=∠ABD时,∠BAD=18°,
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°,
∴∠OAC=180°18°×3=126°;
当∠BAD=∠BDA时,∵∠ABO=18°,
∴∠BAD=81°,∠AOB=18°,
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°,
∴∠OAC=180°18°18°81°=63°,
故答案为:①18°;②126,63;
(2)如图2,存在这样的x的值,使得△ADB中有两个相等的角。
∵AB⊥OM,∠MON=36,OE平分∠MON,
∴∠AOB=18°,∠ABO=72°,
①当AC在AB左侧时:
若∠BAD=∠ABD=72°,则∠OAC=90°72°=18°;
若∠BAD=∠BDA=180°72°2=54°,则∠OAC=90°54°=36°;
若∠ADB=∠ABD=72°,则∠BAD=36°,故∠OAC=90°36°=54°;
②当AC在AB右侧时:
∵∠ABE=108°,且三角形的内角和为180°,
∴只有∠BAD=∠BDA=180°108°2=36°,则∠OAC=90°+36°=126°.
综上所述,当x=18、36、54、126时,△ADB中有两个相等的角。
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【题目】学校需要添置教师办公桌椅A、B两型共200套,已知2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元,1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元.
(1)求A,B两型桌椅的单价;
(2)若需要A型桌椅不少于120套,B型桌椅不少于70套,平均每套桌椅需要运费10元.设购买A型桌椅x套时,总费用为y元,求y与x的函数关系式,并直接写出x的取值范围;
(3)求出总费用最少的购置方案.
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【题目】如图所示,已知∠AOB和一条定长线段a,在∠AOB内找一点P,使点P到OA,OB的距离都等于a,作法如下:
①在∠AOB内作OB的垂线段NH,使NH=a,H为垂足;②过N作NM∥OB;③作∠AOB的平分线OP,与NM交于点P;④点P即为所求.其中③的依据是( )
A. 平行线之间的距离处处相等 B. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
C. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 D. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
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【题目】如图,△ABC中,∠B=10°,∠ACB=20°,AB=4cm,△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合,且点C恰好成为AD的中点.
(1)指出旋转中心,并求出旋转的度数;
(2)求出∠BAE的度数和AE的长.
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【题目】如图所示,A,E,F,C在一条直线上,AE=CF,过E,F分别作DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E、F,且AB=CD.
(1)△ABF与△CDE全等吗?为什么?
(2)求证:EG=FG.
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【题目】在Rt△ABC中,,cm,cm,若以C为圆心,以2cm为半径作圆,则点A在⊙C_____;点B在⊙C________;若以AB为直径作⊙O,则点C在⊙O_______.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,沿EF将矩形折叠,使A、C重合,AC与EF交于点H.
(1)求证:△ABE≌△AGF;
(2)若AB=6,BC=8,求△ABE的面积.
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