Question

【题目】如图（1），E是正方形ABCD的边BC上的一个点（E与B、C两点不重合），过点E作射线EP⊥AE，在射线EP上截取线段EF，使得EF=AE；过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．

（1）求证：FG=BE；
（2）连接CF，如图（2），求证：CF平分∠DCG；
（3）当 = 时，求sin∠CFE的值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵EP⊥AE，

∴∠AEB+∠GEF=90°，

又∵∠AEB+∠BAE=90°，

∴∠GEF=∠BAE，

又∵FG⊥BC，

∴∠ABE=∠EGF=90°，

在△ABE与△EGF中，

，

∴△ABE≌△EGF（AAS），

∴FG=BE；

（2）

证明：由（1）知：BC=AB=EG，

∴BC﹣EC=EG﹣EC，

∴BE=CG，

又∵FG=BE，

∴FG=CG，

又∵∠CGF=90°，

∴∠FCG=45°= ∠DCG，

∴CF平分∠DCG

（3）

解：如图，作CH⊥EF于H，

∵∠HEC=∠GEF，∠CHE=∠FGE=90°，

∴△EHC∽△EGF，

∴ = ，

根据 = ，设BE=3a，则EC=a，EG=4a，FG=CG=3a，

∴EF=5a，CF=3 a，

∴ = ，HC= a，

∴sin∠CFE= = ．

【解析】（1）根据同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AE=EF，利用AAS得到三角形ABE与三角形EFG全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；（2）由（1）得到BC=AB=EG，利用等式的性质得到BE=CG，根据FG=BE，等量代价得到FG=CG，即三角形FCG为等腰直角三角形，得到∠FCG=45°，即可得证；（3）如图，作CH⊥EF于H，则△EHC∽△EGF，利用相似得比例，根据BE与BC的比值，设出BE，EC，以及EG，FG，利用勾股定理表示出EF，CF，进而表示出HC，在直角三角形HC中，利用锐角三角函数定义即可求出sin∠CFE的值．