Question

如图，边长为1的正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，且BE=BC，点P在EC上，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，则PM+PN=

 

．

Answer 1

分析：连接BP，作EF⊥BC于点F，由正方形的性质可知△BEF为等腰直角三角形，BE=1，可求EF，利用面积法得S_△BPE+S_△BPC=S_△BEC，将面积公式代入即可．

解答：解：连接BP，作EF⊥BC于点F，则∠EFB=90°，
由正方形的性质可知∠EBF=45°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
又根据正方形的边长为1，得到BE=BC=1，
在直角三角形BEF中，sin∠EBF=

EF

BE

，
即BF=EF=BEsin45°=1×

2

2

=

2

2

，
又PM⊥BD，PN⊥BC，
∴S_△BPE+S_△BPC=S_△BEC，
即

1

2

BE×PM+

1

2

×BC×PN=

1

2

BC×EF，
∵BE=BC，
PM+PN=EF=

2

2

；
故答案为：

2

2

．

点评：解决本题的关键是作出辅助线，构造矩形和全等三角形，把所求的线段转移到正方形的对角线上．