Question

6．在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D在边BC上，连接AD，以点D为顶点，AD为一边作等边△ADE，连接BE，若BC=7，BE=4，∠CBE=60°，则∠EAB的正切值为$\frac{2\sqrt{3}}{11}$．

Answer 1

分析 过点D作DF⊥BE于点F，由等边三角形的性质结合角的计算即可得出AD=DE、∠ADC=∠DEF，利用全等三角形的判定定理AAS即可证出△ACD≌△DFE，由此即可得出AC=DF、CD=FE，由BC=7，BE=4，可设CD=FE=x，则：BD=7-x，BF=4-x．根据BD=2BF即可得出关于x的方程，解之即可得出x的值，再根据勾股定理即可得出AD、AB的长度，过点E作EG⊥AB于点G，由勾股定理可得AE²-AG²=BE²-BG²，代入数据可得出AG、EG的长度，利用正切的定义即可得出∠EAB的正切值．

解答 解：过点D作DF⊥BE于点F，如图1所示．
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=DE=AE，∠ADE=60°．
∵∠CBE=60°，
∴∠ADE=∠DBF=60°，
∴BD=2BF，∠ADC+∠BDE=∠DEF+∠BDE=120°，
∴∠ADC=∠DEF．
在△ACD和△DFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠DEF}\\{∠ACD=∠DFE=90°}\\{AD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△DFE（AAS），
∴AC=DF，CD=FE．
∵BC=7，BE=4，
∴设CD=FE=x，则：BD=7-x，BF=4-x．
∵BD=2BF，
∴7-x=2（4-x），
∴x=1．
∴CD=FE=1，BD=6，BF=3．
∴AC=DF=$\sqrt{3}$BF=3$\sqrt{3}$．
由勾股定理可得：AD=DE=AE=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{19}$．
过点E作EG⊥AB于点G，如图2所示．
∵AE²-AG²=BE²-BG²，
∴$（2\sqrt{7}）^{2}$-AG²=4²-$（2\sqrt{19}-AG）^{2}$，
∴AG=$\frac{22\sqrt{19}}{19}$，EG=$\sqrt{A{E}^{2}-A{G}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{57}}{19}$，
∴tan∠EAB=$\frac{EG}{AG}$=$\frac{\frac{4\sqrt{57}}{19}}{\frac{22\sqrt{19}}{19}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{11}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{11}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理求出AG、EG的长度是解题的关键．