Question

如图，PA=PB，PC=PD，∠APB=90°，∠CPD=90°，PM是△PCB的中线．则有下列结论：①AC=BD；②AD⊥PM；③S_△PAD=S_PCB；④AD=2PM．其中，正确的有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：作CE⊥PM，BF⊥PM，利用SAS证明△PAC≌△PBD，再依次证明CME≌△BMF，△PCE≌△DPH，△PBF≌△APH，然后根据全等的性质可得到AD⊥PM；S_△PAD=S_PCB；AD=2PM．

解答：解：如图，作CE⊥PM于E，BF⊥PM于F，
∵∠APB=∠CPD=90°，
∴∠APB-∠CPB=∠CPD-∠CPB，
∴∠APC=∠BPD，
在△PAC与△PBD中，

AP=BP ∠APC=∠BPD PC=PD

，
∴△PAC≌△PBD（SAS），
∴AC=BD；
∵PM是△PCB的中线，
∴CM=BM，
∴△CME≌△BMF，
∴CE=BF，
再证明△PBF≌△APH得到PH=BF，∠AHP=∠F=90°，AD⊥PM；
然后证明△PCE≌△DPH，
∴S_△PAH=S_△PBF，S_△PDH=S_△PCE，S_△MCE=S_△BFM，
∴S_△PAD=S_△PAH+S_△PDH=S_△PBF+S_△PCE=S_△ABM+S_△BFM+S_△PCE=S_△ABM+S_△CEM+S_△PCE=S_PCB；
AD=AH+DH=PF+PE=PE+2EM+PE=2PM．
故选D．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应角相等，对应边相等．