Question

（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果

AP

BP

=

BP

AB

，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设

AP

BP

=

BP

AB

=k，则k就是黄金比，并且k≈0.618．

（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰△APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足

底

腰

=

腰

底+腰

≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：

 

；
（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；
（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S₁和面积为S₂的两部分（设S₁＜S₂），如果

S1

S2

=

S2

S

，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗？请说明理由；
（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？

Answer 1

分析：（1）类比黄金三角形的定义进行定义；
（2）（3）根据线段黄金分割点的概念和三角形的面积公式进行分析；
（4）根据（2）中的结论，得到这样的直线有无数条．

解答：解：
（1）满足

宽

长

=

长

宽+长

≈0.618的矩形是黄金矩形；

（2）由

BP

AB

=k得，BP=1×k=k，从而AP=1-k，
由

AP

BP

=

BP

AB

得，BP²=AP×AB，
即k²=（1-k）×1，
解得k=

-1± 5

2

，
∵k＞0，
∴k=

5 -1

2

≈0.618；

（3）因为点P是线段AB的黄金分割点，所以

AP

BP

=

BP

AB

，
设△ABC的AB上的高为h，则

S△APC

S△BPC

=

1 2 AP×h

1 2 BP×h

=

AP

BP

，

S△BPC

S△ABC

=

1 2 BP×h

1 2 AB×h

=

BP

AB

∴

S△APC

S△BPC

=

S△BPC

S△ABC

∴直线CP是△ABC的黄金分割线．

（4）由（2）知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q，则AQ也是黄金分割线，设AQ与CP交于点W，则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．

点评：注意线段的黄金分割点的概念的延伸，能够根据黄金分割的定义结合三角形的面积进行分析证明．