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海中有一个小岛A,它的周围24海里内有暗礁,鱼船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东45°方向上,航行12海里到达D点,此时测得小岛A在北偏东30°方向上.
(1)求小岛A到D的距离;
(2)如果鱼船不改变航线继续向东航行,请问有没有触礁的危险?并说明理由.(结果保留根号)
分析:(1)首先过点A作AC⊥BD于点C,然后在Rt△ADC中,由∠ADC=60°,利用三角函数的知识即可求得DC以及AD的长;
(2)又由C岛的周围24海里以内有暗礁,比较AC与24的大小,即可得船继续向东航行是否会有触礁的可能.
解答:解:(1)过点A作AC⊥BD于点C,
∵在B点测得小岛A在北偏东45°方向上,航行12海里到达D点,此时测得小岛A在北偏东30°方向上,
∴∠ABC=45°,BD=12海里,∠ADC=60°,
∴AC=BC,
设 CD=x,则AC=
3
x,
故12+x=
3
x,
解得:x=6(
3
+1),
则AD=2DC=12(
3
+1),
答:小岛A到D的距离为12(
3
+1)海里;

(2)∵DC=6(
3
+1)海里,∴AC=6(
3
+1)×
3
=(18+6
3
)(海里)>24海里,
故鱼船不改变航线继续向东航行,有触礁的危险.
点评:此题考查了方向角的知识.此题难度不大,解题的关键是注意三角函数的应用,注意数形结合思想的应用.
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没有
没有
 触礁的危险.(填写:“有”或“没有”)
参考数据:sin60°=cos30°≈0.866.

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