Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点P是 的中点，连结PA，PB，PC.

(1)如图(a)，若∠BPC＝60°，求证：AC＝AP；

(2)如图(b)，若sin∠BPC＝，求tan∠PAB的值．

　　　 　

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）tan∠PAB＝.

【解析】

（1）利用已知条件易证△ABC为等边三角形，所以∠ACB=60°，因为点P是弧AB的中点，所以∠ACP=30°，进而证明AC=AP；
（2）①由等腰三角形的性质可得∠BAC=2∠CAF，由圆周角定理可得∠FOC=2∠CAF，进而可证明∠FOC=∠BAC；
②过点E作EG⊥AC于G，连接OC，设FC=24a，则OC=OA=25a，因为OF=7a，AF=32a．在Rt△AFC中，AC2=AF2+FC2，所以AC=40a，进而可求出tan∠PAB的值．

解：(1)证明：∵∠BAC＝∠BPC＝60°.

又∵AB＝AC，

∴△ABC为等边三角形，

∴∠ACB＝60°，

∵点P是的中点，

∴∠ACP＝30°，

又∵∠APC＝∠ABC＝60°，

∴AC＝AP.

(2)如图，连结AO并延长交PC于点E，交BC于点F，过点E作EG⊥AC于点G，连结OC.

∵AB＝AC，

∴AF⊥BC，BF＝CF.

又∵点P是的中点，

∴∠ACP＝∠PCB，

∴EG＝EF.

∵∠BPC＝∠BAC，

又∵∠BAC＝∠FOC，

∴∠BPC＝∠FOC，

∴sin∠FOC＝sin∠BPC＝.

设FC＝24a，则OC＝OA＝25a，

∴OF＝7a，AF＝32a.

在Rt△AFC中，AC2＝AF2＋FC2，∴AC＝40a.

在Rt△AGE和Rt△AFC中，sin∠FAC＝ ，

∴ ，∴EG＝12a.

∴tan∠PAB＝tan∠PCB＝.