Question

8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F分别在AB、CD上，AD=2，AB=9，CD=6，BC=7，若EF∥BC，且四边形AEFD与四边形EBCF是周长相等，求EF的长．

Answer 1

分析 根据两梯形的周长相等可得AD+AE+EF+FD=EF+EB+BC+CF继而可得：AD+AE+FD=EB+BC+CF=$\frac{1}{2}$（AB+BC+CD+AD）=12，设$\frac{AE}{EB}$=k，则AE，DF，都可用k表示出来，从而可得出k的值，再运用平行的性质即可解出EF的长．

解答 解：由已知AD+AE+EF+FD=EF+EB+BC+CF，
∴AD+AE+FD=EB+BC+CF=$\frac{1}{2}$（AB+BC+CD+AD）=12，
∵EF∥BC，
∴EF∥AD，$\frac{AE}{EB}$=$\frac{DF}{FC}$
设$\frac{AE}{EB}$=k，则AE=$\frac{k}{k+1}$AB=$\frac{9k}{k+1}$，DF=$\frac{k}{k+1}$CD=$\frac{6k}{k+1}$，
∴AD+AE+FD=2+$\frac{9k}{k+1}$+$\frac{6k}{k+1}$=12，
解得：k=2，
作AH∥CD，AH交BC于H，交EF于G，
则GF=HC=AD=2，BH=BC-CH=7-2=5，
∵$\frac{EG}{BH}$=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{6}{9}$=$\frac{2}{3}$，
∴EG=$\frac{10}{3}$，
∴EF=EG+GF=$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了平行线分线段成比例，梯形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．