Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，tanB=

3

4

，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作∠DEF=90°，EF交射线BC于点F．设BE=x，△BED的面积为y．
（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）如果以线段BC为直径的圆与以线段AE为直径的圆相切，求线段BE的长；
（3）如果以B、E、F为顶点的三角形与△BED相似，求△BED的面积．

Answer 1

分析：（1）根据∠B的正切值和AC的值，求出BC的值，也就求出了BD的值，然后求三角形BED的高；根据BC的长和∠B的正弦值，表示出BD边上的高，再根据三角形BED的面积公式得出y，x的函数关系式；
（2）可先表示出AE的长，过AE的中点（设为O）作BC的垂线OG，可根据OG，GD的长，来表示出OD，然后根据两圆外切和内切的不同，让两圆的半径相加或相减后等于圆心距OD，得出关于x的方程，求出x的解；
（3）若两三角形相似，则∠BEF=∠BDF．求△BED的面积就需要知道底边和高，关键是求出BE的长，可通过构建相等的线段，来得出关于x的方程求解．
分别过E，D作EH⊥BC于H，DM⊥AB于M，根据∠DEM是∠MDE和∠FEB的余角，因此∠MDE=∠FEB=∠FDE．
因此可得出EM=EH，可根据EM，EH的不同的表示方法，来得出含x的等式，从而求出x的值．
也就可以求出三角形BED的面积了．
∠BEF为锐角和钝角的不同情况时，表示线段EM的式子会略有不同，但是思路是一致的，不要丢掉任何一种情况．

解答：解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=6，tanB=

3

4

，
∴BC=8，AB=10，
∴CD=DB=4．
过点E作EH⊥CB于H．
则可求得EH=

3

5

x．
∴y=

1

2

×4×

3

5

x=

6

5

x（0＜x≤

16

5

或5＜x≤10）．

（2）取AE的中点O，过点O作OG⊥BC于G，连接OD．
则OG=

3

5

OB=

3

5

×

10+x

2

=

3

10

（10+x），GD=CD-CG=4-

2

5

（10-x）=

2

5

x，
∴OD=

9 100 (10+x)2+ 4 25 x2

．
若两圆外切，则可得

1

2

BC+

1

2

AE=OD，
∴（BC+AE）²=4OD²，
∴（8+10-x）²=4[

9

100

（10+x）²+

4

25

x²]
解得x=

20

3

．
若两圆内切，得|

1

2

BC-

1

2

AE|=OD，
∴（BC-AE）²=4OD²，
∴（8-10+x）²=4[

9

100

（10+x）²+

4

25

x²]
解得x=-

20

7

（舍去），所以两圆内切不存在．
所以，线段BE的长为

20

3

．

（3）由题意知∠BEF≠90°，故可以分两种情况．
①当∠BEF为锐角时，
由已知以B、E、F为顶点的三角形与△BED相似，又知∠EBF=∠DBE，∠BEF＜∠BED，所以∠BEF=∠BDE．
过点D作DM⊥BA于M，过E作EH⊥BC于H．
根据等角的余角相等，可证得∠MDE=∠HDE，
∴EM=EH．
又EM=MB-EB=

16

5

-x，
由（1）知：EH=

3

5

x，
∴

16

5

-x=

3

5

x，
∴x=2．
∴y=

6

5

×2=

12

5

．
②当∠BEF为钝角时，同理可求得x-

16

5

=

3

5

x，
∴x=8．
∴y=

6

5

×8=

48

5

．
所以，△BED的面积是

12

5

或

48

5

．

点评：本题主要考查了相似三角形的性质、圆与圆的位置关系以及解直角三角形的应用等知识点．
注意（2）和（3）中都要分情况进行讨论：（2）要分两圆是内切还是外切，（3）要分∠BEF时钝角还是锐角进行分类讨论，不要丢掉任何一种情况．