分析 （1）①分两种证明，Ⅰ、根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则AE=BD，AD=CE，即可得出结论；Ⅱ、同Ⅰ的方法即可．
②根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；
（2）利用∠BDA=∠BAC=α，则∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，得出∠CAE=∠ABD，进而得出△ADB≌△CEA即可得出答案；
（3）由△ABF和△ACF均为等边三角形，得到BAC=∠BAF+∠CAF=120°，利用∠BDA=∠BAC=120°，则∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=60°，得出∠CAE=∠ABD，进而得出△ADB≌△CEA，根据全等三角形的性质得到AE=BD，∠ABD=∠CAE，得到∠DBF=∠FAE，根据全等三角形的性质得到DF=EF，∠BFD=∠AFE，根据得到结论
解答 证明：（1）①Ⅰ、如图1，
②∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CAE}\\{∠BDA=∠CEA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE-AD=BD-CE；
Ⅱ、如图1-1，
∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CAE}\\{∠BDA=∠CEA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AD-AE=CE-BD，
综上两种情况：DE=|BD-CE|，
故答案为：①=，②DE=BD+CE；
②∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CAE}\\{∠BDA=∠CEA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（2）∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CAE}\\{∠BDA=∠CEA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（3）∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴BAC=∠BAF+∠CAF=120°，
∴∠BDA=∠BAC=120°，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=60°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CAE}\\{∠BDA=∠CEA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，∠ABD=∠CAE，
∵∠DBF=60°+∠ABD，∠FAE=60°+∠CAE，
∴∠DBF=∠FAE，
在△BDF与△AEF中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=AE}\\{∠DBF=∠EAF}\\{BF=AF}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△AEF，
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∵∠BFD+∠AFD=60°，
∴∠EFA+∠AFD=60°，
即∠DFE=60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴△DEF的周长为3DE=3a．
点评 此题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，由条件证明三角形全等得到BD=AE、CE=AD是解题的关键．
捷径训练检测卷系列答案
小夫子全能检测系列答案科目：初中数学 来源： 题型：解答题
查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：填空题
如图，点C在x轴的正半釉上，且∠ACO=90°，CO=CA，点D在边AC上，在边AC的右侧取一点B，使∠ADB=90°，且BD=DA，反比例函数y=$\frac{k}{x}$在第一象限的图象经过点B，若S△OAC-S△BAD=5k-2，则k的值为$\frac{4}{9}$．查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
如图，在等边△ABC中，已知AB=8cm，线段AM为BC边上的中线．点N在线段AM上，且MN=3cm，动点D在直线AM上运动，连接CD，△CBE是由△CAD旋转得到的．以点C为圆心，以CN为半径作⊙C与直线BE相交于点P，Q两点．查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=6cm，AD=4cm，BC=10cm，求∠D的度数．