Question

6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D为AB的中点，点E是射线AC上的一个动点，沿折痕DE将∠A折叠．使得点A的对应点A'落在BC边上，若以D，E，A'为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长为1.5或$\frac{25}{6}$．

Answer 1

分析 利用勾股定理列式求出AB，根据线段中点的定义求出AD，根据翻折的性质可得△ADE≌△A′DE，再根据两边对应成比例夹角相等，两三角形相似，分两种情况列式求解即可．

解答 解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴ABA=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵D为AB的中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=2.5，
∵折痕DE将∠A折叠．使得点A的对应点A'落在BC边上，
∴△ADE≌△A′DE，
∵以D，E，A'为顶点的三角形与△ABC相似，
∴以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
①若△ADE∽△ABC，则$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$，
即$\frac{2.5}{5}$=$\frac{AE}{3}$，
解得AE=1.5，
②若△AED∽△ABC，则$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，
即$\frac{AE}{5}$=$\frac{2.5}{3}$，
解得AE=$\frac{25}{6}$，
综上所述，AE的长为1.5或$\frac{25}{6}$．
故答案为：1.5或$\frac{25}{6}$．

点评 本题考查了相似三角形的性质，翻折变换的性质，翻折前后的两个三角形全等，难点在于要分情况讨论．