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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知，如图，点M在x轴上，以点M为圆心，2.5长为半径的圆交y轴于A、B两点，交x轴于C（精英家教网x1，0）、D（x2，0）两点，（x1＜x2），x1、x2是方程x（2x+1）=（x+2）2的两根．
    （1）求点C、D及点M的坐标；
    （2）若直线y=kx+b切⊙M于点A，交x轴于P，求PA的长；
    （3）⊙M上是否存在这样的点Q，使点Q、A、C三点构成的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点的坐标，并求出过A、C、Q三点的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）整理把x（2x+1）=（x+2）2并求出方程的解即可得到点C、D的坐标，根据圆的性质，根据点M是C、D的中点求解即可；
    （2）利用勾股定理求出AO的长度，根据切线求出AM⊥PA，再证明△AOM与△POA相似，根据相似三角形对应边成比例列式即可求出PA的长度；
    （3）根据直径所对的圆周角是直角可得∠CAD=90°，然后可以证明△AOC与△DAC相似，所以点D就是所要找的点Q，然后利用待定系数法列式即可求出过A、C、Q三点的抛物线的解析式．
    解答：解：（1）x（2x+1）=（x+2）2整理得，x2-3x-4=0，
    解得x1=-1，x2=4，
    ∴点C、D的坐标是C（-1，0），D（4，0），
    -1+4
    2
    =1.5，
    ∴点M的坐标是（1.5，0），
    故答案为：C（-1，0），D（4，0），（1.5，0）；

    （2）如图，连接AM，则AM=2.5，
    在Rt△AOM中，AO=
    		AM2-OM2
    =
    		2.52-1.52
    =2，
    ∴点A的坐标是（0，2），精英家教网
    ∵PA与⊙M相切，
    ∴AM⊥PA，
    ∴∠MAO+∠PAO=90°，
    又∵∠AMO+∠MAO，
    ∴∠AMO=∠PAO，
    在△AOM与△POA中，
    ∠AMO=∠PAO
    ∠AOM=∠POA=90°
    ，
    ∴△AOM∽△POA，
    ∴
    AM
    PA
    =
    OM
    AO
    ，
    即
    2.5
    PA
    =
    1.5
    2
    ，
    解得PA=
    10
    3
    ；

    （3）存在．
    如图，连接AC、AD，
    ∴∠CAD=90°，
    在△ACO与△DCA中，
    ∠ACO=∠DCA
    ∠AOC=∠DAC=90°
    ，
    ∴△ACO∽△DCA，
    ∴存在点Q，与点D重合时，点Q、A、C三点构成的三角形与△AOC相似，精英家教网
    此时，设过点A、C、Q的抛物线是y=ax2+bx+c，
    则
    a-b+c=0
    16a+4b+c=0
    c=2
    ，
    解得
    a=-
    1
    2
    b=
    3
    2
    c=2
    ，
    ∴过A、C、Q三点的抛物线的解析式为：y=-
    1
    2
    x2+
    3
    2
    x+2．
    点评：本题是对二次函数的综合考查，包括解一元二次方程，相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式，综合性较强，难度较大，需要仔细分析研究方能解决．
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    （1）作图（保留作图痕迹）
    ①作∠AOB的平分线OM；
    ②以P为顶点，作∠APQ=∠AOB，PQ交OM于点C；
    ③过点C作CD⊥OB，垂足为点D．
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