Question

14．如图1，边长为a的正方形发生形变后成为边长为a的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h，我们把a与h的比值叫做这个菱形的“形变度”．
（1）当形变后的菱形有一个内角是30°时，这个菱形的“形变度”为k=2；
（2）如图2，菱形ABCD的“形变度”为$\sqrt{3}$，点E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，求四边形EFGH形变前与形变后的面积之比；
（3）如图3，正方形ABCD由16个边长为1的小正方形组成，形变后成为菱形A'B'C'D'，△AEF（E，F是小正方形的顶点）同时形变为△A'E'F'，设这个菱形的“形变度”为k，判断△A′E′F′的面积S与k是否为反比例函数关系，并说明理由；当$\frac{A'C'}{B'D'}=\frac{6}{5}$时，求k的值．

Answer 1

分析 （1）用“形变度”的定义直接计算即可；
（2）先求出形变前四边形的面积，再求出形变后面积，即可；
（3）先确定出S与t的函数关系式，用形变度和菱形的面积求解即可．

解答 解：（1）由题意得，sin30°=$\frac{h}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{a}{h}$=2；                                            
故答案为2，
（2）设四边形ABCD的边长为a，
∵点E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，
∴四边形EFGH形变前的面积为$\frac{1}{2}$a²，
∵四边形EFGH形变后为矩形，且HE=$\frac{1}{2}$BD，EF=$\frac{1}{2}$AC（三角形中位线性质），
∴S_矩形EFGH=$\frac{1}{2}$BD×$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$ah，
∴四边形EFGH形变前与形变后的面积之比为$\frac{a}{h}$=$\sqrt{3}$；              
（3）S是k的反比例函数．
理由：如图，过D′作D′G⊥A′B′，垂足为G，
则$\frac{A'D'}{D'G}=k$
∵A′B′=B′C′=C′D′=A′D′=4，
∴D'G=$\frac{4}{k}$，
∴S=$\frac{1}{4}$S_菱形ABCD=$\frac{1}{4}$×$\frac{16}{k}$=$\frac{4}{k}$，
∴S是k的反比例函数．                                          
当 $\frac{A'C'}{B'D'}=\frac{6}{5}$时，$\frac{\frac{1}{2}A'C'}{\frac{1}{2}B'D'}=\frac{6}{5}$，
∴$\frac{A'O}{D'O}=\frac{6}{5}$
设D′O=5t，则A′O=6t，
∴（5t）²+（6t）²=16，
∴t²=$\frac{16}{61}$，
∴S_菱形ABCD=$\frac{16}{k}$，
∴$\frac{1}{2}$A'C'×B'D'=$\frac{16}{k}$，
∴$\frac{1}{2}$×10t×12t=$\frac{16}{k}$，
即60t²=$\frac{16}{k}$，
∴k=$\frac{61}{60}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了新定义，图形形变前后的图形的形状，面积的计算，勾股定理，解本题的关键是理解新定义．